Gruppteori: GLn<SLn<On<SOn?

Vad betyder beteckningarna?

(Du kanske har kommit längre än jag nånsin har varit, men jag gör ett försök.)

Kanske inte! Väcker dessa något minne?

General linear group, Special linear group, Orthogonal group, Special orthogonal group.

Jag fick slå upp det. SO(n) är väl en undergrupp till O(n) och inte tvärtom? 

Oj herregud, alla tecken är felvända!

Jag får det till SO(n) < SL(n) < L(n) och SO(n) < O(n) < L(n), för special har determinant 1, och O(n) kan ha determinant -1.

Det enda och bästa sättet att reda ut det här är att skriva ner definitionen $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$, $\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$, $\mathrm{O}(n)$ och $\mathrm{SO}(n)$, och sedan kolla det som behöver kollas enligt definitionen av en delgrupp:

Definition. Låt $(G,\star)$ vara en grupp med identitetselementet $1$. En delmängd $H\subseteq G$ sägs vara en delgrupp av $H$ (vilket betecknas $H\leqslant G$) om följande kriterier är uppfylda: 

• $1\in H$
• $a,b\in H$ medför $a\star b\in H$
• $a\in H$ medför $a^{-1}\in H$.

Vad kommer du fram till?

Ledtråd: Det stämmer inte att $\mathrm{SO}(n)\leqslant\mathrm{O}(n)\leqslant\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})\leqslant\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$.

Edit: Laguna hann före! Men skriv som övning gärna ner ett tydligt argument baserat på definitionen ovan för var och en av delgrupprelationerna som han anger. 

• Gln=alla icke 0 determinant
• Sln=alla 1 determinant
• On=Determinant 1 eller -1, ortogonal.
• SOn=Determinant 1 och ortogonal.

Isåfall så ändrar jag min förmodan till att dessa fyra inte kan skrivas tillsammans i en serie med >, dock gäller

• gln>sln>son
• gln>on>son

Edit: Ojdå, jag lovar att jag inte skrev av Laguna haha. Jag fick bara en mailnotifikation fast jag fick två svar.

Bra! Hur motiverar du att $\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$ och $\mathrm{O}(n)$ är delgrupper och inte enbart delmängder av $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$?

När du väl har visat detta följer det direkt att $\mathrm{SO}(n)=\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})\cap \mathrm{O}(n)$ är en delgrupp av både $\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$ och $\mathrm{O}(n)$ genom följande lemma.

Lemma. Låt $(G,\star)$ vara en grupp, och låt $H\subseteq G$ och $K\subseteq G$ vara delgrupper. Då är $H\cap K$ en delgrupp av både $H$ och $K$.

Det är en bra övning att formulera ett noggrant bevis.

Visuellt kan de relevanta delmängdsrelationerna sammanfattas med ett sådant här litet så kallat Hasse-diagram:

Okej... Vi ska se. 

För att $H\cap K$ ska vara delgrupp av $H$ och $K$ behöver den vara en delmängd av de, det är såklart redan uppfyllt.

1. Den ska också vara sluten under gruppoperationen. Jag tänker mig ett motsägelsebevis. Antag att det finns $a, b\in H \cap K$ sådan att $a\star b \notin H\cup K$, men det går inte, för deras produkt måste vara samma i både $H$ och $K$, alltså ingår $b\star a$ i $H\cap K$.
2. Det måste också finnas en invers. Det är samma argument som ovan, båda måste ha en invers eftersom hela G är en grupp, så måste inversen vara samma, så den finns i snittet.
3. Associativitet är trivialt eftersom G är associativ.
4. Att identeten finns i båda är också trivialt, annars hade $H$ och $K$ inte kunnat vara delgrupper in the first place.

Att produkten respetive inversen "måste vara samma" bygger på det faktum att både H och K är delmängd av G, annars hade de kunnat vara olika. Jag vet inte i vilka situationer två grupper kan ha några element gemensamt, men vara i övrigt olika. Vad betyder det ens då att två element är samma i ett sånt konstigt fall?

Edit: nu va din uppgift att visa att $H\cap K$ är delgrupp till $H$ och $K$, men det hade väl inte spelat någon roll om du istället sa att att den skulle vara undergrupp till $G$?