Gruppteori: Cycle notation & group center

Hej!
Har fått lite problem när jag försöker hitta $S_3$'s group center.

Om vi tittar på elementet (2 3) (som är det specifika elementet jag har problem med) så hänger jag inte med på varför detta elementet inte är en del av $S_3$'s center. Detta pga. mina beräkninar:

Om vi exempelvis kollar på om (2 3) kommuterar med (1 2):
Vi har sekvensen 1 2 3.

Först kollar vi (2 3)(1 2).
Börja med att applicera (2 3):

1 2 3 => 1 3 2

Nu appliceras sedan (1 2):

1 3 2 => 2 3 1

Detta kan skrivas om som 1 2 3.

Sedan kollar vi (1 2)(2 3):

Börja med att applicera (1 2):

1 2 3 => 2 1 3

Applicera sedan (2 3):

2 1 3 => 3 1 2 

Detta kan skrivas om som 1 2 3.

Nu till mitt problem: Med samma teknik får jag att (2 3) kommuterar med alla element i $S_3$, och att (2 3) därav är ett element i gruppens center. Men detta är inte fallet, för att inga element ska kommutera med (2 3). Något är därför fel, och jag har ingen aning om vad.

Tack på förhand.