Gruppteori: checka mina svar

Att resonera kring en kub går visserligen men introducerar för mig en onödig grad av förvrängning. Oktaedern är inte ett mer komplicerar objekt än kuben. Om kuben gav dig tillgång till någon slags notation du använde skulle jag köpa det men nu måste man övertyga sig om att vi ens pratar om samma sak. . Som examinator skulle jag sucka lite över att du tvingar en att kontrollera om dina transformationsmatchningar stämmer när du lika gärna kunde talat om oktaedern. 

(fråga 1)

Kort: Handlar inte uppgiften om ett par av koordinataxlar? Dvs ett kors och symmetrierna som inte roterar korset dvs att en rotation som byter plats på L1 och L2 är i stabilisatorn för L12. Notera ordet union i frågan. 

Du verkar bara prata om bara en koordinataxel?

(skrev ett långt inlägg där jag tabulerade saker men vi kan ju börja med att se om du/jag ens förstått frågan rätt. 

Nej, jag har inte tolkat frågan rätt, jag skrev en ny version igår natt. Ett ögonblick så ska jag ladda upp den.

Den första meningen i fråga ett stämmer dock ändå, isomorfism är väldigt starkt, så det ska inte innebära extrajobb för dig som läser, hela frågan är naturligt överförbar.

Vi verkar fortfarane tolka problemen helt olika. Jag förstå exempelvis inte vad jag ska se i formuleringen som ska få mig att ignorera reflektioner eller fixera 3-axeln?

(fråga 1)

Såhär ser jag hela problemet. Vi har en tetraeder med ett kryss i ett av dess tre kvadratiska skärningar. Låt oss tänka oss oktaedern organiserad som en bipyramid (en uppåt och en nedåt) där vårt plan där krysset ligger är på kvadraten i mitten. 

De transformationer som bevarar detta kryss är i sin tur genererade av två under-symmetrigrupper.

Först har vi symmetrierna på denna kvadrat (rotationer och reflektioner) vilket är dihedrala gruppen  av ordning 8 eller D4 . vilka är isomorfa med en undergrupp i oktahedrala gruppen. Detta ger oss alltså minst 8 element i stabiliseringsgruppen.

Sedan har vi även reflektion $R_3$ i 3-axeln som bevarar det centrala kvadratplanet dvs en inversion av toppspets och bottenspets. 

Alla våra element i stabilisatorn genereras sedan av kombinationer av denna reflektion och element i dihedrala gruppen av ordning 8.. 

Jag tror att det bara blir 2*8 = 16 men kanske råkar dubbelräkna någon då. 

Likväl får jag alltså minst 9 element och max 16 element i stabilisatorn. 

(fråga 2)

Kan inte göra det formellt längre men kvalitativt tänker jag mig att faktumet att 3-reflektionen och dihedrala gruppen är ortogonala (vad är det tekniska grupptermen för undergrupper som inte växelverkar?) så borde det kunna bevisas av att visa normalitetskriteriet för när g är reflektionen och h i dihedrala och vice versa. 

hej igen, jag kan inte förstå vad som menas med att en grupp genereras av anda grupper, vi har inte gått igenom det.

Din lösning är svår att förstå, jag är inte bekväm med oktaedrar överhuvudtaget, därför vill jag prata om kuber hellre.

Stabilisatorn säger min lärare innehåller 8 element (inkl identiteten).

Har byggt många okaedrar i papper men kan förstå att det är svårare om man inte sett så många i verkligheten. 

Såhär visualiserade jag det hela och får det som sagt till 16 men då måste det som sagt vara att jag missförstått problemet.

edit: Glömde reflektionen

Kommentar: Råkade markera ut kryssen som L13 istället för L12 som i uppgiften men antal borde bli desamma.