grupphomomorfi

Hej

jag har fastnat på en uppgift där man använder omskrivning för att visa ett påstående men jag förstår inte riktigt logiken.

Uppgiften är:

Låt f:G$\Rightarrow G$ vara en grupphomomorfi med kärna $\mathrm{\mathbb{N}}:=ker\left(f\right)$ och låt x,y$\in G$ 

Visa att f(x)=f(y)$\iff x^{-1}\in N$

Som jag förstår kan man skriva om $f\left(x{y}^{-1}\right)$ till $f\left(x\right){\left(f\left(y\right)\right)}^{-1}$ vilket man har använt i svaret där dom har satt $f\left(x\right)=f\left(y\right)\iff f\left(x\right){\left(f\left(y\right)\right)}^{-1}=1\iff f\left(x{y}^{-1}\right)=1\iff x{y}^{-1}\in N$

jag förstår första steget där dom använt omskrivningen till att få $f\left(x\right)=f\left(y\right)\iff f\left(x\right){\left(f\left(y\right)\right)}^{-1}=1$ men jag förstår inte riktigt varför man skriver om på det sättet och var kommer ettan ifrån?