Grupphomomorfi

Hej

jag har en uppgift som handlar om grupphomomorfi som jag skulle behöva lite hjälp med:

Låt f: $G \to G$ vara en grupphomomorfi med kärna N=ker(f) och $x, y \in G$ godtyckliga gruppelementet.

a) Visa att f(x)=f(y) $\leftrightarrow x y^{- 1} \in N$

b) Visa att Fix(f)={ $g \in G : f (g) = g}$ är en delgrupp av G

I a uppgiften har jag löst det genom att sätta f(x)=f(y) $\leftrightarrow f (x) {(f (y))}^{- 1} = 1 \leftrightarrow x y^{- 1} \in N$

men jag har problem med att få till b uppgiften.

Man kan använda att H = Fix(f) är en delgrupp om det gäller att den är icke tom samt att om $xy^{-1} \in H$ för alla $x, y \in H$ så är $H$ en delgrupp.

Det är trivialt att $1 \in H$ samt att om $x, y \in H$ så gäller det att

$f(xy^{-1}) = f(x)f(y)^{-1} = xy^{-1}$

Därför gäller det att $xy^{-1} \in H$ , vilket visar att det är en delgrupp.

Svara