Grupphomomorfi

Hej

jag sitter med en gammal tentafråga och skulle behöva lite hjälp med att lösa följande uppgift:

Låt w=(1 4 5)(2 3) i symmetriska gruppen $S_{5}$ och $θ : ℤ_{6} \to S_{5}$ vara en grupphomomorfi som uppfyller $θ (5 + 6 ℤ)$ =w

a) Gör en tabell som visar $θ (a + 6 ℤ)$ för varje $a + 6 ℤ \in ℤ_{6}$

b) Bestäm ker $(θ)$

c) Är $θ$ injektiv?

d) Är $θ$ surjektiv?

Om man börjar med a uppgiften, så ska man alltså ställa upp en tabell men jag förstår inte riktigt hur man ska göra. Vi har ju att w=(145)(23) är i S5 och att Z6 $\to S_{5}$

Du ska alltså ställa upp en tabell som visar för varje element i $\mathbb{Z}_6$ var det elementet mappas av homomorfismen.

Notera att $5 + 6\mathbb{Z}$ är en generator för gruppen. Så du har ju att

$\theta(n\cdot (5 + 6\mathbb{Z})) = w^n$

okej då har jag nu löst a,b och c uppgiften, men jag vet inte hur jag ska avgöra om $θ$ är surjektiv eller inte?

$\mathbb{Z}_6$ och $S_5$ är ändliga grupper, hur många element innehåller de vardera?

de har väl sex och fem element

Nej $S_5$ innehåller många fler än så, den innehåller alltså alla permutationer på {1, 2, ..., 5}, vilket är $5! = 120$ stycken.

Så om $S_5$ innehåller 120 stycken och $\mathbb{Z}_6$ innehåller 6 stycken, kan den då vara surjektiv?

okej så eftersom vi kan mappa varje element i Z6 till ett element i S5 är den injektiv men då vi inte kan mappa alla element i S5 till Z6 är den inte surjektiv?

Den är inte injektiv för att vi kan göra det, utan för att varje element i Z6 mappas till olika element i S5.

Den är inte surjektiv eftersom man inte kan mappa till alla element i S5 då antalet element i Z6 är färre än antalet element i S5.

Svara

Visa senaste svar