Grupper: diskreta grupper och punktgrupper

Hej, se:

Jag förstår inte lemma 3.4.7 (kompendiet är konstigt overall, jag vet inte om jag är ovan med algebratexter eller om författaren faktiskt är slarvig). Vad säger den oss egentligen?

Jag kan utläsa två påståenden i lemmat: 1) delmängden är en normal delgrupp 2) den är isomorf med ett gitter. Beviset var konstigt, där påstår de bara att 3) kärnan är en normal delgrupp 4) kärnan är translationerna i G. Påstående 4) är självklart, men det är otydligt vad dess relation är till påstående 3). Beviset säger mig inget.

Precis som du säger är det flera delpåståenden i lemmat:

(1) Mängden $T$ av alla translationer i $G$ är en normal delgrupp av $G$ .
(2) $T$ är isomorf med $\rm{\Lambda}$ .
(3) $\rm{\Lambda}$ är ett gitter i $\mathbb{R}^2$ .

Påstående (2) är relativt enkelt (skicka varje translation $(t_\boldsymbol{a}:\boldsymbol{x}\mapsto \boldsymbol{x}+\boldsymbol{a})\in T$ till vektorn $\boldsymbol{a}\in\mathrm{\Lambda}$ ), och påstående (3) följer så vitt jag kan se direkt av kompendiets definition av diskreta grupper och gitter.

Påstående (1) vore det nyttigt för dig att försöka bevisa direkt från definitionerna: visa först att det är en delgrupp, och sedan att den är normal. Men det finns en genväg, i form av följande väldigt användbara lemma:

Lemma. Om $\varphi\colon G\to H$ är en grupphomomorfi, så är $\ker(\varphi)$ en normal delgrupp av $G$ .

Övning: Bevisa detta noggrant (både att kärnan är en delgrupp och att den är normal).

För att besvara din första fråga: Ja, just den här passagen kan jag hålla med om var lite slarvigt skrivet av författaren, och över huvud taget kan kompendier vara lite rörigt och opedagogiskt skrivna om man jämför med en lärobok. Men fördelen med kompendier är att de ofta är utförligare och mer informella - och kan ta lite ovanligare och mer spännande approacher till ett ämne. (Jag tror väldigt mycket på att introducera gruppteori i den här geometriska kontexten, så som ditt kompendium gör det!)

En annan bra och lite mer traditionellt strukturerad lärobok i abstrakt algebra är Judsons bok, som är tillgänglig gratis online. (Dock är även denna bok lite otraditionell på så vis att den tidigt introducerar datoralgebraiska beräkningar i SAGE, och att tillämpningar ges relativt stort utrymme.)

Svara