Grupp
Hej
jag behöver lite hjälp med att besvara denna uppgift:
Låt och definiera en kompositionsregel på G enligt a*b=a+b-ab. Visa att (G*) är en grupp. Ange också vilket element i G som är neutralt med avseende på *, samt en formel för inversen till ett element
Vi får väl vanligtvis neturala elementet 1 vid multiplikation men i svaret står det att det ska bli 0. Sedan står det även att
Du har inte angivit vad G är för någon mängd?
G=R\(1) ska det vara
Det neutrala elementet e är det som uppfyller att e*a = a*e = a för alla element a, så du kan inte bara anta att det kommer vara 1.
Du ska alltså lösa ekvationen(erna)
e + a - ea = a
Så att den gäller för alla a.
okej om man sätter e=0 så uppfylls ekvationen för varje värde på a.
men hur kommer man fram till att man ska ställa upp ekvationen som e+a-ea=a?
Ja, du får ju att ekvationen blir
e(1 - a) = 0
För att detta ska stämma för alla a så måste e = 0. Man ställer upp den ekvationen eftersom det är ekvationen
e*a = a*e = a
Det är det element e som uppfyller denna ekvation som man kallar för enhetselementet i gruppen.
jag är ju med på att e=0 för att få e(1-a)=0 det jag inte förstår är hur man ska veta att man ska ställa upp det som e(1-a)=0 för att hitta det neutrala elementet, är det något vi alltid ska göra för en grupp där vi har a*b=a+b-ab?
Ja det är något du alltid för i en sådan grupp. Kolla på definitionen för enhetselementet, den säger att det är det element som uppfyller att e*a = a*e = a för alla a i gruppen. Det är därför man ställer upp ekvationen. Eftersom det i just denna grupp gäller trivialt att den abelsk samt att du har att kompositionsregeln är a*b = a + b - ab så får du ju att ekvationen blir
e + a - ae = a
Okej, då förstår jag den delen, när man ska tänka på att hitta inversen till a som ska bli är jag inte säker på hur dom kommer fram dit.
Om vi säger att b är inversen till a, så ska det gälla att
a*b = b*a = e
Där e är identitetselement. Alltså ska det gälla att
a + b - ab = 0
Löser man ut b så får man att
så detta är därför inversen till a.
Stokastisk skrev :Ja det är något du alltid för i en sådan grupp. Kolla på definitionen för enhetselementet, den säger att det är det element som uppfyller att e*a = a*e = a för alla a i gruppen. Det är därför man ställer upp ekvationen. Eftersom det i just denna grupp gäller trivialt att den abelsk samt att du har att kompositionsregeln är a*b = a + b - ab så får du ju att ekvationen blir
e + a - ae = a
hur får vi e+a-ae=a från e*a=a*e=a? borde det inte bli ea-ae=a? jag förstår inte var vi får additionen ifrån
Det är helt enkelt enligt kompositionsregeln.
