Grupp

På a), du måste verifiera att gruppen är sluten under multiplikation och att alla har en invers. Förslagsvis så kan du ju bara skriva ned hela multiplikationstabellen för gruppen.

okej. jag är inte riktigt med på hur man ska göra här.

För att beräkna inversen ska vi väl hitta a*1=1*a=a

men då kommer ju varje heltal att ha en invers

Nej en invers b till a är ett element som uppfyller att

ab = 1

Det är enhetselementet 1 som uppfyller att 1*a = a*1 = a för alla a. Du måste visa att gruppen är sluten under multiplikation, dvs att oavsett vilka två element a och b man tar så kommer ab finnas i mängden. Därför gå igenom alla element som finns och multiplicera ihop dem och se vad du får.

själva kravet för att en grupp är sluten ska ju vara $a*b\in \mathrm{ℝ}$ så långt är jag med.

Jag ska alltså visa att vilka tal som helst för a och b kommer att ingå i mängden.

Mängden vi har är ju (1,5,7,11)

ska man alltså multiplicera ihop alla element 1*5*7*11=385

Nej det räcker ju inte, utan det är produkterna 

1*5

1*7

1*11

5*5

5*7

5*11

7*7

7*11

11*11

Du ska beräkna. Då kommer du se vilka inverser dem har också.

Nej, du skall multiplicera ihop 1 och 1 modulo 12 och se om svaret ingår i gruppen

multiplicera ihop 1 och 5 modulo 12 och se om svaret ingår i gruppen

multiplicera ihop 1 och 7 modulo 12 och se om svaret ingår i gruppen

multiplicera ihop 1 och 11 modulo 12 och se om svaret ingår i gruppen

multiplicera ihop 5 och 5 modulo 12 och se om svaret ingår i gruppen

multiplicera ihop 5 och 7 modulo 12 och se om svaret ingår i gruppen

och så vidare

okej då fick jag

1*5=5 mod 12 =5

1*7=7 mod 12 = 7

1*11=11 mod 12 = 1

5*5=25 mod 12 = 1

5*7=35 mod 12 = 11

5*11 = 55 mod 12 = 7

7*7 = 49 mod 12 =1

7*11 = 77 mod 12 = 5

11*11 = 121 mod 12 = 1

 Alltså kan vi se att samtliga svar ingår i ( 1,5,7,11)

Har vi därmed alltså bevisat att gruppen är sluten under multiplikation och därmed är en grupp?

Du har bevisat att kanske-gruppen är sluten under multiplikation, men inte att det är en grupp. Vad behövs det mer för att det skall vara en grupp? (Stokastisk har redan skrivit det.)

Det krävs väl att den är associativ, innehåller ett neutralt element samt att varje element ska ha en invers

Då är det bara att kolla att det stämmer.

om jag nu har förstått det rätt så fick jag det till:

Gruppen är sluten enligt beräkningarna vi redan gjort.

Gruppen är associativ då a*(b*c=(a*b)*c då 1(5*7)=(1*5)*7$\Rightarrow 1*11=5*7\Rightarrow 11=11$

Gruppen har ett neutralt element =1

Gruppen har invers till samtliga element som i detta fall är $1^{-1}=1,5^{-1}=5,7^{-1}=7,{11}^{-1}=11$$1^{-1}=1,5^{-1}=5,7^{-1}=7,{11}^{-1}=11$

Detta fick jag genom att rita upp en grupptabell och se vilket tal man måste multiplicera med för att få det neutrala elementet 1

Alltså uppfyller vi samtliga krav på att det är en grupp.

$\begin{array}{ccccc}& 1& 5& 7& 11\\ 1& 1& 5& 7& 11\\ 5& 5& 1& 11& 7\\ 7& 7& 11& 1& 5\\ 11& 11& 7& 5& 1\end{array}$

Så ser min grupptabell ut, jag tror att det stämmer

Ja, det ser ut som om du har klarat av a-uppgiften. Då är det bara resten kvar (stor suck).

ja det var väl tyvärr den enklare av uppgifterna.

Om man tittar på den tredje av uppgifterna så tolkar jag det som G=(R,*)  och a*b=a+b+ab

men jag är inte riktigt med på hur man ska gå till väga för att ta reda på om det är en grupp eller inte.

I det förra fallet började jag med att göra en grupptabell men hur ska man konstruera ett sådant för ab=a+b+ab?

Hej!

Vad står beteckningen $\mathcal{B}(M)$ för? Är det Borel sigma-algebran på det topologiska rummet $M$?

Albiki

Uppgift c.

Slutenhet. Om $a$ och $b$ är reella tal så är trivialt $a+b+ab$ ett reellt tal.

Associativt. Om $a$ och $b$ och $c$ är reella tal så är

    $a*(b*c) = a+(b+c+bc)+a(b+c+bc) = (a*b) + c + c(a*b) = (a*b)*c.$

Neutralt element. Det reella talet $0$ är ett neutralt element, eftersom $a*0 = a$ för varje $a \in \mathbb{R}.$

Inverst element. Om $a$ och $b$ är reella tal sådana att $a+b+ab = 0$ (eftersom $0$ ju är det neutrala elementet) så är $b = -\frac{a}{1+a}$ (under förutsättning att $1+a \neq 0$). Det reella talet $-1$ saknar däremot ett inverst element.

Albiki