15 svar
343 visningar
Jocke011 276 – Fd. Medlem
Postad: 6 sep 2017 15:49

Grupp

Hej

kan någon hjälpa mig med denna uppgift:

Avgör om G är en grupp under respektive kompositionsregel:

 

a) G=(1,5,7,11) under multiplikation modulo 12

b) G=B(M), under \ (mängddifferens)

c) G= under kompositionsregeln * given av a*b=a+b+ab, för alla a,b

 

Jag förstår inte riktigt hur man ska göra. exempelvis har vi i första uppgiften modulo 12 så siffrorna ändras väl inte då de är mindre än 12 redan men vad ska man göra när det står under multiplikation mod 12

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 6 sep 2017 17:42

På a), du måste verifiera att gruppen är sluten under multiplikation och att alla har en invers. Förslagsvis så kan du ju bara skriva ned hela multiplikationstabellen för gruppen.

Jocke011 276 – Fd. Medlem
Postad: 6 sep 2017 20:13

okej. jag är inte riktigt med på hur man ska göra här.

För att beräkna inversen ska vi väl hitta a*1=1*a=a

men då kommer ju varje heltal att ha en invers

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 6 sep 2017 20:18

Nej en invers b till a är ett element som uppfyller att

ab = 1

Det är enhetselementet 1 som uppfyller att 1*a = a*1 = a för alla a. Du måste visa att gruppen är sluten under multiplikation, dvs att oavsett vilka två element a och b man tar så kommer ab finnas i mängden. Därför gå igenom alla element som finns och multiplicera ihop dem och se vad du får.

Jocke011 276 – Fd. Medlem
Postad: 6 sep 2017 20:30

själva kravet för att en grupp är sluten ska ju vara a*b så långt är jag med.

Jag ska alltså visa att vilka tal som helst för a och b kommer att ingå i mängden.

Mängden vi har är ju (1,5,7,11)

ska man alltså multiplicera ihop alla element 1*5*7*11=385

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 6 sep 2017 20:32

Nej det räcker ju inte, utan det är produkterna 

1*5

1*7

1*11

5*5

5*7

5*11

7*7

7*11

11*11

Du ska beräkna. Då kommer du se vilka inverser dem har också.

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 6 sep 2017 20:34

Nej, du skall multiplicera ihop 1 och 1 modulo 12 och se om svaret ingår i gruppen

multiplicera ihop 1 och 5 modulo 12 och se om svaret ingår i gruppen

multiplicera ihop 1 och 7 modulo 12 och se om svaret ingår i gruppen

multiplicera ihop 1 och 11 modulo 12 och se om svaret ingår i gruppen

multiplicera ihop 5 och 5 modulo 12 och se om svaret ingår i gruppen

multiplicera ihop 5 och 7 modulo 12 och se om svaret ingår i gruppen

och så vidare

Jocke011 276 – Fd. Medlem
Postad: 6 sep 2017 20:50

okej då fick jag

1*5=5 mod 12 =5

1*7=7 mod 12 = 7

1*11=11 mod 12 = 1

5*5=25 mod 12 = 1

5*7=35 mod 12 = 11

5*11 = 55 mod 12 = 7

7*7 = 49 mod 12 =1

7*11 = 77 mod 12 = 5

11*11 = 121 mod 12 = 1

 Alltså kan vi se att samtliga svar ingår i ( 1,5,7,11)

Har vi därmed alltså bevisat att gruppen är sluten under multiplikation och därmed är en grupp?

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 6 sep 2017 21:21

Du har bevisat att kanske-gruppen är sluten under multiplikation, men inte att det är en grupp. Vad behövs det mer för att det skall vara en grupp? (Stokastisk har redan skrivit det.)

Jocke011 276 – Fd. Medlem
Postad: 6 sep 2017 22:43

Det krävs väl att den är associativ, innehåller ett neutralt element samt att varje element ska ha en invers

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 6 sep 2017 23:16

Då är det bara att kolla att det stämmer.

Jocke011 276 – Fd. Medlem
Postad: 7 sep 2017 11:28

om jag nu har förstått det rätt så fick jag det till:

Gruppen är sluten enligt beräkningarna vi redan gjort.

Gruppen är associativ då a*(b*c=(a*b)*c då 1(5*7)=(1*5)*71*11=5*711=11

Gruppen har ett neutralt element =1

Gruppen har invers till samtliga element som i detta fall är 1-1=1, 5-1=5, 7-1=7, 11-1=111-1=1, 5-1=5, 7-1=7, 11-1=11

Detta fick jag genom att rita upp en grupptabell och se vilket tal man måste multiplicera med för att få det neutrala elementet 1

Alltså uppfyller vi samtliga krav på att det är en grupp.

157111157115511177711151111751

Så ser min grupptabell ut, jag tror att det stämmer

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 7 sep 2017 11:38

Ja, det ser ut som om du har klarat av a-uppgiften. Då är det bara resten kvar (stor suck).

Jocke011 276 – Fd. Medlem
Postad: 7 sep 2017 15:10

ja det var väl tyvärr den enklare av uppgifterna.

Om man tittar på den tredje av uppgifterna så tolkar jag det som G=(R,*)  och a*b=a+b+ab

men jag är inte riktigt med på hur man ska gå till väga för att ta reda på om det är en grupp eller inte.

I det förra fallet började jag med att göra en grupptabell men hur ska man konstruera ett sådant för ab=a+b+ab?

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 7 sep 2017 15:16

Hej!

Vad står beteckningen B(M) \mathcal{B}(M) för? Är det Borel sigma-algebran på det topologiska rummet M M ?

Albiki

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 7 sep 2017 15:28

Uppgift c.

Slutenhet. Om a a och b b är reella tal så är trivialt a+b+ab a+b+ab ett reellt tal.

Associativt. Om a a och b b och c c är reella tal så är

    a*(b*c)=a+(b+c+bc)+a(b+c+bc)=(a*b)+c+c(a*b)=(a*b)*c. a*(b*c) = a+(b+c+bc)+a(b+c+bc) = (a*b) + c + c(a*b) = (a*b)*c.

Neutralt element. Det reella talet 0 0 är ett neutralt element, eftersom a*0=a a*0 = a för varje a. a \in \mathbb{R}.

Inverst element. Om a a och b b är reella tal sådana att a+b+ab=0 a+b+ab = 0 (eftersom 0 0 ju är det neutrala elementet) så är b=-a1+a b = -\frac{a}{1+a} (under förutsättning att 1+a0 1+a \neq 0 ). Det reella talet -1 -1 saknar däremot ett inverst element.

Albiki

Svara
Close