Grundskolans Pascals pyramid med binom - hur fungerar den?

Du slarvar när du beräknar dina multiplikationer. I det första exemplet borde du få:

$\left(a+b\right)^3=\underbrace{(a+b)(a+b)}_{=a^2+2ab+b^2}\left(a+b\right)=$ $(\color{red}a^2\color{black}+\color{green}2ab\color{black}+\color{blue}b^2\color{black})(\color{orange}a\color{black}+\color{purple}b\color{black})=$

$=\color{red}a^2\color{black}\cdot\color{orange}a\color{black}+\color{red}a^2\color{black}\cdot\color{purple}b\color{black}+\color{green}2ab\color{black}\cdot\color{orange}a\color{black}+\color{green}2ab\color{black}\cdot\color{purple}b\color{black}+\color{blue}b^2\color{black}\cdot\color{orange}a\color{black}+\color{blue}b^2\color{black}\cdot\color{purple}b\color{black}=a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+ab^2+b^3=$

$=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

Du gör liknande fel när du beräknar $(a+b)^4$.

Tack för svaret, men ovan fel kom sig inte av att jag var brast i min noggrannhet/ var slarvig utan pga att jag inte fullt vet eller förstår hur jag räknar med högre exponenter än 2.

Så som  jag tänke var att helt enkel forstätta räkna som jag gjord med (a+b)²:

(a+b) (a+b) = a*a + a*b + b*a + b*b = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b² (som kvadrerings regeln säger)

så med (a+b)³ tänkte jag: (a+b) (a+b) (a+b) = a*a*a + a*b*b + b*a*a + b*b*b = a³ + ab² +ba² + b³

octa skrev:

Tack för svaret, men ovan fel kom sig inte av att jag var brast i min noggrannhet/ var slarvig utan pga att jag inte fullt vet eller förstår hur jag räknar med högre exponenter än 2.

Jag försökte visa hur man beräknar $(a+b)^3$ i mitt inlägg ovan (det var lite strul med koden först, men det har jag rättat till). Är det något i den beräkningen du inte förstår?

octa skrev:

...

Vad har jag missat?

$(a+b)(a+b)(a+b)=$

Första kvadreringsregeln på de två första faktorerna:

$=(a^2+2ab+b^2)(a+b)=$

Multiplicera nu ihop de två parenteserna:

$=a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+ab^2+b^3=$

Samla termer:

$=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

octa skrev:

Tack för svaret, men ovan fel kom sig inte av att jag var brast i min noggrannhet/ var slarvig utan pga att jag inte fullt vet eller förstår hur jag räknar med högre exponenter än 2.

Tips: Multiplicera ihop parenteserna två i taget som jag visade. Det är väldigt svårt att hålla fler saker i huvudet samtidigt.

För $(a+b)^4$:

$(a+b)^4=(a+b)^2(a+b)^2=$

$=(a^2+2ab+b^2)(a^2+2ab+b^2)=$

$=a^4+2a^3b+a^2b^2+2a^3b+4a^2b^2+2ab^3+a^2b^2+2ab^3+b^4=$

$=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

Tack för svaren,

Så som  jag tänkte var att helt enkel forstätta räkna som jag gjord med (a+b)²

(a+b) (a+b) = a*a + a*b + b*a + b*b = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b² (som kvadrerings regeln säger)

så med (a+b)3 tänkte jag: (a+b) (a+b) (a+b) = a*a*a + a*b*b + b*a*a + b*b*b = a³ + ab² +ba² + b³

Men jag förstår nu med att räkna binomen parvis som AlvinB sa, tänker dock att det är lustigt att jag inte kunde fortsätta som ovan som jag räknar med (a+b)² ,men jag tänker väl fel någonstans där.

Man kan tänka som du gör (även om det är krångligt), men man måste komma ihåg att det finns fler kombinationer. Exempelvis har du även $a\cdot a\cdot b$ och $a\cdot b\cdot a$ som du missat. Den korrekt uträkningen blir:

$(a+b)(a+b)(a+b)=a\cdot a\cdot a+a\cdot a\cdot b+a\cdot b\cdot a+a\cdot b\cdot b+b\cdot a\cdot a+b\cdot a\cdot b+b\cdot b\cdot a+b\cdot b\cdot b=$

$=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

Tack, nu "har polletten trillat ned" :)