Groundhog day integral

Hej!

En partiell integrering är hjälpsam här.

    $\displaystyle\int \sqrt{1+x^2}\,dx = x\sqrt{1+x^2}-\int\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}\,dx.$

Sedan skriver man

    $\displaystyle\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{1+x^2}{\sqrt{1+x^2}}-\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = \sqrt{1+x^2}-\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

och noterar att när man använder detta så får man tillbaka ursprungsintegralen, fast med omvänt tecken.

    $$ \displaystyle\int \sqrt{1+x^2}\,dx = x\sqrt{1+x^2} - \int \sqrt{1+x^2}\,dx  + \int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,dx $$

vilket ger

    $\displaystyle\int \sqrt{1+x^2}\,dx = \frac{1}{2}(x\sqrt{1+x^2} + \int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,dx).$

En standardintegral är $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin x,$ så det kanske är någon slags arcsinusfunktion som ger integralen $\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,dx$? Det visar sig att denna integral är arcsinushyperbolicusfunktionen,

    $\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,dx = \text{arcsinh}\,x,$

som definieras $\displaystyle\text{arcsinh}\,x = \ln (x+\sqrt{1+x^2}),\quad x>-1.$

Resultat: Den sökta integralen är lika med talet

    $\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{1+x^2}\,dx = \frac{1}{2}(x\sqrt{1+x^2}+\text{arcsinh}\,x)|_{0}^{1} = \frac{1}{2}(\sqrt{2}+\text{arcsinh}\,1)-\frac{1}{2}(0+\text{arcsinh}\,0).$

Notera att $\text{arcsinh}\,1 = \ln (1+\sqrt{2})$ och att $\text{arcsinh}\,0 = \ln (0+\sqrt{1}) = 0$ så att integralen är lika med

    $\displaystyle\frac{1}{2}(\sqrt{2}+\ln (1+\sqrt{2})) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \ln\sqrt{1+\sqrt{2}}.$

Jag tror att facits svar är fel. Jag får:

$\frac{1}{4}\ln\left(3+2\sqrt{2}\right)+\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 1.1478$

vilket verkar överensstämma med WolframAlpha.

Angående din lösning är du snubblande nära. Den primitiva funktionen är rätt, du gör bara några småfel när du förenklar.

Hur får du t.ex.

till

Som du ser blev den här integralen extremt krånglig på grund av $\frac{1}{cos^3(x)}$-integralen. Jag vet inte om du är bekant med de hyperboliska trigfunktionerna, men om du använder dessa blir integralen betydligt enklare:

Hej :)

Det var jag som skrev fel, rätt svarren var: $\frac{\ln \left(\sqrt{2}+1\right)}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Hyperbolism är jag inte bekant med, och vi hade träffats väldigt snabbt en gång innan Albiki nämnde det.

Jag förstår inte var min fel är, jag försökte räkna en gång till och jag får $-4$ igen....

$\displaystyle \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{1}-\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{1}=$$\sqrt{2}(\sqrt{2}+1-(\sqrt{2}-1))=2\sqrt{2}$

... omg. Tack.

Ok, jag lämnar detta tråd oppet ett tag. Jag måste fundera lite till kring sinhuuuhh och coshhuuhhh