Gren till log z

Det står ju tidigare i stycket.

Så är poängen att man aldrig ska få samma svar? Eller va? Vad är det egentligen som ska bestämmas? Jag trodde att man bara får välja siffra på n för att få den perioden man vill ha. 🙄

Poängen är att det inte ger samma resultat om man väljer gren till $\log(z^2+2z)$ som om man först väljer gren till $\log w$  en delmängd av $C$ och sedan sätter $w=z^2+3z$.

Om jag tolkar uppgiften rätt, så är det inte alla grenar som ger det önskade värdet på $f(-1)$. Det är möjligt att det står något intressant i den del av exemplet som du inte har tagit med.

Det är två olika exempel. Frågan är vad målet är. Tex om jag har en ekvation är målet att hitta en siffra jag kan stoppa in så stämmer det. Det måste ju finnas ngn slags poäng med det man gör. Men jag hittar ingenstans vilka krav som ska vara uppfyllda för att svaret ska vara rätt. 

Såhär ser resten ut. 

Det var en väldigt väsentlig skillnad! Det hade jag inte kunnat gissa. I det andra exemplet är definitionsmängden annorlunda. Poängen i mitt första stycke kvarstår, men min tolkning i andra stycket var felaktig p g a bristande informetion.

Jag håller med om att uppgiften inte är tillräckligt tydligt formulerad. Uppgiftskonstruktören visste förmodligen fullständigt vad han eller hon ville ha fram, men det räcer inte till!

Funktionen $\log(z^2+3z)$ ger flera värden i varje punkt, och de båda grenar man har konstruerat i exempel 2.11 respektive 2.12 ger ett värde var i varje punkt. I det övre halvplanet för de samma värden, men i det undre halvplanet ger de olika.

Hej!

Om $z$ är ett komplext tal så är begreppet komplex logaritm ($log(z)$) ett komplext tal som är sådant att

    $e^{log(z)} = z.$

Det finns oändligt många sådana komplexa logaritmer, eftersom för varje heltal $n$ gäller det att $e^{i2\pi n} = 1$ och den komplexa exponentialfunktionen $w \mapsto e^{w}$ uppfyller regeln $e^{w_1+w_2} = e^{w_1} \cdot e^{w_2}$ vilket ger

    $e^{log(z)} = e^{log(z)} \cdot 1 = e^{log(z)}\cdot e^{i2\pi n} = e^{log(z) + i2\pi n}.$

När man pratar om komplex logaritm $log(z)$ så menar man en mängd av komplexa tal, och inte ett enskilt komplext tal.

• Om $z$ är angiven på polär form som $z = |z|e^{i\theta}$ för något reellt tal $\theta$, så är komplex logaritm $log(z)$ samma sak som mängden

        $log(z) = \{w\in\mathbb{C}: w = \ln|z| + i\theta + i2\pi n \ , \quad n \in \mathbb{Z}\}$.

För ett givet komplext tal $z$ ligger de motsvarande komplexa talen $w$ på en lodrät linje som är parallell med imaginär-axeln och går genom punkten $(\ln|z|,0)$

• Om $0<><>$ (komplexa talet $z$ ligger inuti enhetscirkeln) så ligger den lodräta linjen i det vänstra halvplanet och
• om $|z|>1$ (komplexa talet $z$ ligger utanför enhetscirkeln) så ligger den lodräta linjen i det högra halvplanet och
• om $|z| = 1$ (komplexa talet $z$ ligger på enhetscirkeln) så ligger den lodräta linjen på imaginär-axeln.