Greens sats, lösa en dubbelintegral

Hej! Jag försöker lösa följande uppgift:

"Evaluate $\oint (x \sin (y^{2}) - y^{2} d x + (x^{2} y \cos (y^{2}) + 3 x) d y$ over C, where C is the counterclockwise boundary of the trapezoid with vertices (0,-2), (1,-1), (1,1) and (0,2)"

Jag använder Greens theorem till att få fram att integralen blir lika med $\int_{} \int_{T} 3 + 2 y d A$ men fastnar när jag ska lösa denna integral över det angivna området. Enligt lösningsförslagen till min bok får de att integralen är lika med $\iint 3 d A + 0$ , men jag förstår inte hur 2y kan försvinna?

Tack på förhand

Först och främst borde du få $2xy\left(\sin(y^2)-\cos(y^2) \right)+2y+3$ kvar.

Området är symmetriskt kring x-axeln, det innebär att termer som innehåller y ger ett exakt lika stort positivt bidrag över x-axeln som negativt bidrag under x-axeln. Alltså kan alla termer som innehåller ett y strykas. Kvar blir 3.

Svara