Greens sats, integrationsgränser

Kan du inte använda polära koordinater för en ellips

x = a cos v

y = b sin v

osv

Det blir en del trixande i substitutionen förstås, jag har inte provat själv.

Om man känner till definitionen av tyngdpunkt och arean av en ellips så kan man räkna ut svaret i huvudet.

Integralen blir tyngdpunktens x-koordinat gånger arean av ellipsen = 1 x $\pi ab$= 1 x $\pi$ x 2 x 1 = $2\pi$.

Du kan införa variabelbyte.

u = (x-1)/2

v = y.

Området blir då u² + v² $\le$ 1, dvs ”enhetsdisken” D’.

$\frac{\partial \left(u,v\right)}{\partial \left(x,y\right)}$ = $\left|\begin{array}{cc}1/2& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=1/2$.

Först så ser man att

$\underset{D}{\iint }\left(x+2y\right)dxdy=(symmetri kring x-axel)=\underset{D}{\iint }xdxdy$.

Vi gör variabelbyte som jag föreslog.

$$\begin{gathered} \underset{D}{\iint }xdxdy=\underset{D\text{'}}{\iint }\left(2u+1\right)·2·dudv=4\underset{D\text{'}}{\iint }ududv+2\underset{D\text{'}}{\iint }dudv= \\ (symmetri igen)=0+2\underset{D\text{'}}{\iint }dudv=2·\left(Arean av D\text{'}\right)=2·\mathrm{\pi }. \end{gathered}$$

Jag antar att det är känt att arean av enhetsdisken är $\pi$.