Greens sats. (Matematik/Universitet)

Rita upp de två kurvorna!

Eftersom Greens formel bara bryr sig om diskontinuiteter inuti området förstår du nog varför diskontinuiteten i $(0,0)$ inte spelar någon roll.

I området mellan kurvorna gamma och gamma1 är fältet deriverbart överallt, så där kan Greens formel tillämpas.

AlvinB skrev:
Rita upp de två kurvorna!
Eftersom Greens formel bara bryr sig om diskontinuiteter inuti området förstår du nog varför diskontinuiteten i $(0,0)$ inte spelar någon roll.

Ja jag tänkte ju på denna, och eftersom punken (0,0) ligger innanför cirkeln, så fick man inte använd Green

Du har rätt i att man inte kan använda Greens formel på cirkelytan direkt, men nu har man tagit bort centrum genom att isolera det inuti en ellips, så då går det alldeles utmärkt.

Smaragdalena skrev:
Du har rätt i att man inte kan använda Greens formel på cirkelytan direkt, men nu har man tagit bort centrum genom att isolera det inuti en ellips, så då går det alldeles utmärkt.

AAhhh! då är jag med!

I online-programmet Desmos ritar man upp cirkeln $\gamma$ (orienterad moturs) och ellipsen $\gamma_1$ (orienterad moturs) så att kurvan $\partial D = \gamma - \gamma_1$ är orienterad så att området ( $D$ ) mellan kurvorna ligger till vänster när man rör sig längs kurvan $\partial D$ .

Vektorfältet $\mathbb{F}$ är definierat på området $D$ och har inga diskontinuiteter eller poler i området $D$ ; det går alltså bra att använda Greens formel för att integrera vektorfältet längs kurvan $\partial D$ .

$\displaystyle\oint_{\partial D} = \oint_{\gamma} - \oint_{\gamma_1} = \iint_{D}.$

Albiki skrev:
I online-programmet Desmos ritar man upp cirkeln $\gamma$ (orienterad moturs) och ellipsen $\gamma_1$ (orienterad moturs) så att kurvan $\partial D = \gamma - \gamma_1$ är orienterad så att området ( $D$ ) mellan kurvorna ligger till vänster när man rör sig längs kurvan $\partial D$ .
Vektorfältet $\mathbb{F}$ är definierat på området $D$ och har inga diskontinuiteter eller poler i området $D$ ; det går alltså bra att använda Greens formel för att integrera vektorfältet längs kurvan $\partial D$ .
$\displaystyle\oint_{\partial D} = \oint_{\gamma} - \oint_{\gamma_1} = \iint_{D}.$

Men som jag fattar det här rätt nu? Att just pga att punkterna (0,0) inte ligger i cirkeln, eftersom vi har en ellips. Så får vi använda Gauss sats.

Men $\frac{dQ}{dx}=\frac{dP}{dy}$ så då msåte vi paramatisera? (hade de inte varit ekvivalenta så hade vi kunna göra som vanligt?)

mrlill_ludde skrev:
Albiki skrev:
I online-programmet Desmos ritar man upp cirkeln $\gamma$ (orienterad moturs) och ellipsen $\gamma_1$ (orienterad moturs) så att kurvan $\partial D = \gamma - \gamma_1$ är orienterad så att området ( $D$ ) mellan kurvorna ligger till vänster när man rör sig längs kurvan $\partial D$ .
Vektorfältet $\mathbb{F}$ är definierat på området $D$ och har inga diskontinuiteter eller poler i området $D$ ; det går alltså bra att använda Greens formel för att integrera vektorfältet längs kurvan $\partial D$ .
$\displaystyle\oint_{\partial D} = \oint_{\gamma} - \oint_{\gamma_1} = \iint_{D}.$
Men som jag fattar det här rätt nu? Att just pga att punkterna (0,0) inte ligger i cirkeln, eftersom vi har en ellips. Så får vi använda Gauss sats.

Men $\frac{dQ}{dx}=\frac{dP}{dy}$ så då msåte vi paramatisera? (hade de inte varit ekvivalenta så hade vi kunna göra som vanligt?)

Problemet är att vi har en diskontinuitet (det blir noll i nämnaren) i origo, så vi kan inte tillämpa Greens formel rakt av. Det fiffiga man gör i facit är att man inför en ny kurva som går runt origo. Så här:

Vi får tillämpa Greens formel på dessa kurvor tillsammans, men det var ju egentligen inte det vi var ute efter. Det fiffiga är att vi med Greens formel kan säga att kurvorna tillsammans blir noll, vilket låter oss få reda på att kurvintegralerna för $\gamma$ och $\gamma_1$ har samma värde. Skillnaden är att $\gamma_1$ är konstruerad så att den är betydligt enklare att beräkna.

AlvinB skrev:
mrlill_ludde skrev:
Albiki skrev:
I online-programmet Desmos ritar man upp cirkeln $\gamma$ (orienterad moturs) och ellipsen $\gamma_1$ (orienterad moturs) så att kurvan $\partial D = \gamma - \gamma_1$ är orienterad så att området ( $D$ ) mellan kurvorna ligger till vänster när man rör sig längs kurvan $\partial D$ .
Vektorfältet $\mathbb{F}$ är definierat på området $D$ och har inga diskontinuiteter eller poler i området $D$ ; det går alltså bra att använda Greens formel för att integrera vektorfältet längs kurvan $\partial D$ .
$\displaystyle\oint_{\partial D} = \oint_{\gamma} - \oint_{\gamma_1} = \iint_{D}.$
Men som jag fattar det här rätt nu? Att just pga att punkterna (0,0) inte ligger i cirkeln, eftersom vi har en ellips. Så får vi använda Gauss sats.

Men $\frac{dQ}{dx}=\frac{dP}{dy}$ så då msåte vi paramatisera? (hade de inte varit ekvivalenta så hade vi kunna göra som vanligt?)
Problemet är att vi har en diskontinuitet (det blir noll i nämnaren) i origo, så vi kan inte tillämpa Greens formel rakt av. Det fiffiga man gör i facit är att man inför en ny kurva som går runt origo. Så här:
Vi får tillämpa Greens formel på dessa kurvor tillsammans, men det var ju egentligen inte det vi var ute efter. Det fiffiga är att vi med Greens formel kan säga att kurvorna tillsammans blir noll, vilket låter oss få reda på att kurvintegralerna för $\gamma$ och $\gamma_1$ har samma värde. Skillnaden är att $\gamma_1$ är konstruerad så att den är betydligt enklare att beräkna.

Aaa jag tror jag är med... Men man paramatiserar pga att vi la till den där kurvan, eller för att $dQ/dx = dP/dy$ ?

mrlill_ludde skrev:
AlvinB skrev:
[...]
Aaa jag tror jag är med... Men man paramatiserar pga att vi la till den där kurvan, eller för att $dQ/dx = dP/dy$ ?

Vi parametriserar för att vi vill beräkna värdet på integralen av ellipskurvan.

AlvinB skrev:
mrlill_ludde skrev:
AlvinB skrev:
[...]
Aaa jag tror jag är med... Men man paramatiserar pga att vi la till den där kurvan, eller för att $dQ/dx = dP/dy$ ?
Vi parametriserar för att vi vill beräkna värdet på integralen av ellipskurvan.

Okej, men vad betyder egentligen när $dQ/dx = dP/dy$ och om $$dQ/dx \no dP/dy$$?

Hade liksom fått för mig att om man får $dQ/dx = dP/dy$ så ska man använda sig av $\cos t, \sin t$
och om $dQ/dx \no dP/dy$ köra som vanlig Green.

Att

$\dfrac{\partial Q}{\partial dx}=\dfrac{\partial P}{\partial y}$

betyder ju att de partiella derivatorna är lika med varandra, vilket i sin tur ger att integranden för Greens formel blir noll:

$\displaystyle\int_{\partial D}Pdx+Qdy=\iint_D\dfrac{\partial Q}{\partial dx}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\ dxdy=\iint_D 0\ dxdy=0$

Om fältet är kontinuerligt överallt på $D$ vet vi att svaret blir noll, men uppgiftsmakarna brukar gilla att jävlas litegrann och slänga in en diskontinuitet. Då får vi ofta lägga till en kurva för att gå runt diskontinuiteten, men vi kan ändå använda Greens sats tillsammans med en parametrisering (som vi gjort här) för att förenkla beräkningarna.

AlvinB skrev:
Att
$\dfrac{\partial Q}{\partial dx}=\dfrac{\partial P}{\partial y}$
betyder ju att de partiella derivatorna är lika med varandra, vilket i sin tur ger att integranden för Greens formel blir noll:
$\displaystyle\int_{\partial D}Pdx+Qdy=\iint_D\dfrac{\partial Q}{\partial dx}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\ dxdy=\iint_D 0\ dxdy=0$
Om fältet är kontinuerligt överallt på $D$ vet vi att svaret blir noll, men uppgiftsmakarna brukar gilla att jävlas litegrann och slänga in en diskontinuitet. Då får vi ofta lägga till en kurva för att gå runt diskontinuiteten, men vi kan ändå använda Greens sats tillsammans med en parametrisering (som vi gjort här) för att förenkla beräkningarna.

Vad är skillnad mellan att paramatisera och att gå över direkt till polära koordinater? Vad skulle typ en tenta fråga vara till de? Syftar nu på den här frågan http://www.bilddump.se/bilder/20181227222936-83.249.9.118.png där är ju dQ/dx != \dP/dy .. är det valfritt då??

Gå över till polära koordinater är bara något man kan göra på en ytintegral. Ytintegraler får man bara i dessa sammanhang efter att man applicerat Greens formel. Den relaterar ju nämligen en kurvintegral genom ett fält till en ytintegral av fältets partiella derivator.

Det mest direkta sättet att beräkna en kurvintegral är att parametrisera kurvan och sätta in i formeln:

$\displaystyle\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_a^b\mathbf{F}\left(\mathbf{r}\left(t\right)\right)\cdot\mathbf{r}'\left(t\right)\ dt$

där $\mathbf{r}(t), a\leq t\leq b$ är en parametrisering av kurvan $C$ .

AlvinB skrev:
Gå över till polära koordinater är bara något man kan göra på en ytintegral. Ytintegraler får man bara i dessa sammanhang efter att man applicerat Greens formel. Den relaterar ju nämligen en kurvintegral genom ett fält till en ytintegral av fältets partiella derivator.
Det mest direkta sättet att beräkna en kurvintegral är att parametrisera kurvan och sätta in i formeln:
$\displaystyle\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_a^b\mathbf{F}\left(\mathbf{r}\left(t\right)\right)\cdot\mathbf{r}'\left(t\right)\ dt$
där $\mathbf{r}(t), a\leq t\leq b$ är en parametrisering av kurvan $C$ .

Såg du att jag upptaderade min post?

Greens formel gäller även om

$\dfrac{\partial Q}{\partial x}\neq\dfrac{\partial P}{\partial y}$

Det är bara att då blir inte integranden noll och vi får det inte lika enkelt att beräkna dubbelintegralen.

Läs igenom formuleringen av Greens formel igen. Det står ingenting om att derivatorna behöver vara lika med varandra.

AlvinB skrev:
Greens formel gäller även om
$\dfrac{\partial Q}{\partial x}\neq\dfrac{\partial P}{\partial y}$
Det är bara att då blir inte integranden noll och vi får det inte lika enkelt att beräkna dubbelintegralen.
Läs igenom formuleringen av Greens formel igen. Det står ingenting om att derivatorna behöver vara lika med varandra.

Tack! ska göra det, å återkommer om det är något mer oklart.

mrlill_ludde skrev:
Såg du att jag upptaderade min post?

Har du sett att det står i Pluggakutens regler att man inte frå "redigera ihjäl" en besvarad post? Det blir nämligen fullständigt rörigt om någon kommenterar en post och denna post ändras så att det inte stämmer längre. /moderator

EDIT: Däremot är det tillåtet att göra tillägg till sin post.