Greens sats

Har inte facit gjort en liten extra sväng på området, så att origo ligger utanför området?

Man måste gå runt origo på något krystat vis. Om facit går rakt genom origo har facit fel. I det här fallet är det enklare (jag tror vi redan visat det i någon annan tråd) att beräkna integralen direkt. Vi skriver om fältet i polär form

$\mathbf{F}=\frac{\hat\theta}{r(\cos^2\theta+3\sin^2\theta)}$, och för polära koordinater är $d\mathbf{r}=\hat{r}dr+\hat{\theta}rd\theta$ vilket direkt ger oss (skalärprodukten)

$\displaystyle \int \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_a^b \frac{1}{cos^2\theta +3\sin^2 \theta}\,d\theta$

För b-uppgiften alltså

$\displaystyle \int_{\pi/4}^\pi \frac{1}{cos^2\theta +3\sin^2 \theta}\,d\theta=\frac{2\pi}{3\sqrt 3}$

Guggle skrev:

Man måste gå runt origo på något krystat vis. Om facit går rakt genom origo har facit fel. I det här fallet är det enklare (jag tror vi redan visat det i någon annan tråd) att beräkna integralen direkt. Vi skriver om fältet i polär form

$\mathbf{F}=\frac{\hat\theta}{r(\cos^2\theta+3\sin^2\theta)}$, och för polära koordinater är $d\mathbf{r}=\hat{r}dr+\hat{\theta}rd\theta$ vilket direkt ger oss (skalärprodukten)

$\displaystyle \int \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_a^b \frac{1}{cos^2\theta +3\sin^2 \theta}\,d\theta$

För b-uppgiften alltså

$\displaystyle \int_{\pi/4}^\pi \frac{1}{cos^2\theta +3\sin^2 \theta}\,d\theta=\frac{2\pi}{3\sqrt 3}$

 Aha så man paramatiserar... vad är det matematisk som gör så att man kan göra så?

heymel skrev:

Guggle skrev:

Man måste gå runt origo på något krystat vis. Om facit går rakt genom origo har facit fel. I det här fallet är det enklare (jag tror vi redan visat det i någon annan tråd) att beräkna integralen direkt. Vi skriver om fältet i polär form

$\mathbf{F}=\frac{\hat\theta}{r(\cos^2\theta+3\sin^2\theta)}$, och för polära koordinater är $d\mathbf{r}=\hat{r}dr+\hat{\theta}rd\theta$ vilket direkt ger oss (skalärprodukten)

$\displaystyle \int \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_a^b \frac{1}{cos^2\theta +3\sin^2 \theta}\,d\theta$

För b-uppgiften alltså

$\displaystyle \int_{\pi/4}^\pi \frac{1}{cos^2\theta +3\sin^2 \theta}\,d\theta=\frac{2\pi}{3\sqrt 3}$

 Aha så man paramatiserar... vad är det matematisk som gör så att man kan göra så?

 Man kan (nästan) alltid parametrisera en kurva för att beräkna en kurvintegral.  Parametrisering är ju själva definitionen av en kurvintegral.

Det är ju egentligen Greens formel (och Stokes sats) som är ett specialtrick för att enklare lösa kurvintegraler. När de inte funkar (eller blir jobbiga) går man tillbaka till att lösa kurvintegraler med parametrisering.