Greens formel uppgift 9.17 (Matematik/Universitet/Flervariabelanalys)

Om $γ$ löper i positiv led från (1,0) till (0,-2) så borde väl t vandra mellan 0 och $\frac{3 π}{2}$ ?

Bedinsis skrev:
Om $γ$ löper i positiv led från (1,0) till (0,-2) så borde väl t vandra mellan 0 och $\frac{3 π}{2}$ ?

Ja det stämmer men vi ska väl inte använda greens formel för området är ej sluten ? Det gick inte så bra när jag försökte med det. Så jag använde kurvintegral nu och får såhär. Hur man gör med greens sats när området inte är sluten vet jag inte riktigt eller om det fanns annan väg för att göra den sluten. jag har lite problem att integrera nämnaren

Om sträckan inte är sluten är väl en lösning att sluta till den och sedan subtrahera med de bitar som inte skulle räknas ut.

Vad jag menar är: om du räknar kurvintegralen ett varv runt origo från (1,0) till (1,0) så har du en sluten kurva och kan använda Greens formel för att räkna ut det som en areaintegral. Om du sedan subtraherar med kurvintegralen från (0,-2) till (1,0) så bör du väl ha kurvintegralen från (1,0) till (0,-2) som uppgiften efterfrågade.

Bedinsis skrev:
Om sträckan inte är sluten är väl en lösning att sluta till den och sedan subtrahera med de bitar som inte skulle räknas ut.

Vad jag menar är: om du räknar kurvintegralen ett varv runt origo från (1,0) till (1,0) så har du en sluten kurva och kan använda Greens formel för att räkna ut det som en areaintegral. Om du sedan subtraherar med kurvintegralen från (0,-2) till (1,0) så bör du väl ha kurvintegralen från (1,0) till (0,-2) som uppgiften efterfrågade.

Men nu har jag suddat ut allt detta vilket är tyvärr försent och valde att lösa med kurvintegral istället i #3 pga jag fått 4 som svar och inte 3pi/2. Jag tänker vi kan fortsätta med sättet jag valde att göra så vi inte rör till detta. Hur gör vi med nämnaren?

destiny99 skrev:
Bedinsis skrev:
Om sträckan inte är sluten är väl en lösning att sluta till den och sedan subtrahera med de bitar som inte skulle räknas ut.

Vad jag menar är: om du räknar kurvintegralen ett varv runt origo från (1,0) till (1,0) så har du en sluten kurva och kan använda Greens formel för att räkna ut det som en areaintegral. Om du sedan subtraherar med kurvintegralen från (0,-2) till (1,0) så bör du väl ha kurvintegralen från (1,0) till (0,-2) som uppgiften efterfrågade.

Men nu har jag suddat ut allt detta vilket är tyvärr försent och valde att lösa med kurvintegral istället i #3 pga jag fått 4 som svar och inte 3pi/2. Jag tänker vi kan fortsätta med sättet jag valde att göra så vi inte rör till detta.

Okej. Du sade att du hade problem med att integrera nämnaren cos²t + 4*sin²t.

Trigonometriska ettan gör att det kan skrivas om som 1+3*sin²t. Kan du integrera det?

Bedinsis skrev:
destiny99 skrev:
Bedinsis skrev:
Om sträckan inte är sluten är väl en lösning att sluta till den och sedan subtrahera med de bitar som inte skulle räknas ut.

Vad jag menar är: om du räknar kurvintegralen ett varv runt origo från (1,0) till (1,0) så har du en sluten kurva och kan använda Greens formel för att räkna ut det som en areaintegral. Om du sedan subtraherar med kurvintegralen från (0,-2) till (1,0) så bör du väl ha kurvintegralen från (1,0) till (0,-2) som uppgiften efterfrågade.

Men nu har jag suddat ut allt detta vilket är tyvärr försent och valde att lösa med kurvintegral istället i #3 pga jag fått 4 som svar och inte 3pi/2. Jag tänker vi kan fortsätta med sättet jag valde att göra så vi inte rör till detta.

Okej. Du sade att du hade problem med att integrera nämnaren cos²t + 4*sin²t.

Trigonometriska ettan gör att det kan skrivas om som 1+3*sin²t. Kan du integrera det?

Tack för iden. Ska testa det!

Såhär får jag nu

Formlen för dubbla vinkeln brukar vara till hjälp då man skall integrera sinuskvadrater eller cosinuskvadrater. Jag vet dock inte om detta är en lämplig väg att gå.

Bedinsis skrev:
Formlen för dubbla vinkeln brukar vara till hjälp då man skall integrera sinuskvadrater eller cosinuskvadrater. Jag vet dock inte om detta är en lämplig väg att gå.

Hm det ser svår ut faktiskt eftersom allt är i nämnaren vilket gör det svårt att integrera. Det vore najs om allt var i täljaren.

Vill du prova att använda greens sats igen?

Annars går det att lösa integralen men man behöver göra ett gäng substitutioner.

Lasse Vegas skrev:
Vill du prova att använda greens sats igen?

Blir det lättare att integrera då ? Isåfall kan jag gå över tiill det.

Lasse Vegas skrev:
Annars går det att lösa integralen men man behöver göra ett gäng substitutioner.

Aa men man vill gärna gå en enklare väg. Så det kanske är opassande att använda kurvintegral här istället för greens formel, för jag kommer tyvärr ingenvart med denna integrand.

Vi kan prova att använda greens sats och kanske kolla på integralen efteråt om du vill.

Minns du exemplet från igår med hur man använder greens sats? Det där om att man måste lägga till en kurva för att bilda ett slutet område?

Lasse Vegas skrev:
Minns du exemplet från igår med hur man använder greens sats? Det där om att man måste lägga till en kurva för att bilda ett slutet område?

Ja typ. Då får vi ha följande parametrisering

x=rcost

y=rsint där 0<=t<=3pi/2 och 0<=r<=1.

Vi måste derivera dQ/dx och sen dP/dy och subtrahera dem

Vi missar ett viktigt steg nu, på vilket sätt vill vi bilda en sluten kurva på? Det finns ju egentligen oändligt många sätt men det är några som verkar vara bättre än andra. Hur vill du göra i den här uppgiften?

Lasse Vegas skrev:
Vi missar ett viktigt steg nu, på vilket sätt vill vi bilda en sluten kurva på? Det finns ju egentligen oändligt många sätt men det är några som verkar vara bättre än andra. Hur vill du göra i den här uppgiften?

Ingen aning.

Här kommer några förslag på hur man kan sätta ihop kurvan:

Lasse Vegas skrev:
Här kommer några förslag på hur man kan sätta ihop kurvan:

Hm jag förstår ingenting nu.

Okej vi tar och backar bandet lite då. Är du med på att kurvan i frågan ser ut på det här sättet?

Lasse Vegas skrev:
Okej vi tar och backar bandet lite då. Är du med på att kurvan i frågan ser ut på det här sättet?

Ja jag är med. Det är det jag vill integrera. Men om vi ska sluta den , kan man inte integrera bara 0 till 2pi?

destiny99 skrev:
Lasse Vegas skrev:
Här kommer några förslag på hur man kan sätta ihop kurvan:

Hm jag förstår ingenting nu.

Lasse Vegas skrev:
destiny99 skrev:
Lasse Vegas skrev:
Här kommer några förslag på hur man kan sätta ihop kurvan:

Hm jag förstår ingenting nu.

Ja! 3de alternativet ser ut som en hel cirkel från 0 till 2pi som vi kan integrera över? Då får vi sluten kurva

Sorry, det var inte meningen att skicka bara den där. Citerade och så försvann meddelandet.

För att kunna använda greens sats så behövs en sluten kurva. Kurvan i frågan ser vi ju att den är öppen. Vi måste då utöka kurvan genom att sätta ihop punkterna (0, -2) och (1, 0) på något sätt. Några sätt att göra det på är de jag skickade tidigare.

Och som du säger, om vi låter t variera mellan 0 och 2pi får vi hela ellipsen vilket är en sluten kurva!

Lasse Vegas skrev:
Och som du säger, om vi låter t variera mellan 0 och 2pi får vi hela ellipsen vilket är en sluten kurva!

Yes men dä gör jag som i förra tråd. Och jag antar gränserna för radien är samma? Sen är jag lite fundersam eftersom vi har en ellips i frågan.

Ja, radien kommer variera mellan 0 och 1. Men innan vi fortsätter tycker jag att vi borde skriva upp ett uttryck för vad vi ska beräkna.

Eftersom vi har utökat kurvan och gjort den längre så kommer integralens värde att förändras. Det behöver man ta hänsyn till genom att subtrahera kurvintegralen över kurvan man har lagt till. Jag ska rita upp det lite snabbt och visa vad jag menar.

Lasse Vegas skrev:
Ja, radien kommer variera mellan 0 och 1. Men innan vi fortsätter tycker jag att vi borde skriva upp ett uttryck för vad vi ska beräkna.

Eftersom vi har utökat kurvan och gjort den längre så kommer integralens värde att förändras. Det behöver man ta hänsyn till genom att subtrahera kurvintegralen över kurvan man har lagt till. Jag ska rita upp det lite snabbt och visa vad jag menar.

Jag vet inte vad för uttryck jag ska skriva. Varför ska subtrahera om det var meningen att lägga till kurvan från (0,-2) till (1,0)?

Lasse Vegas skrev:

Så summan blir 2x^2+2y^2/4=2? 2x^2+y^2/2=2

I uttrycket längst ner kan du subtrahera integralen för kurva 2 på båda sidorna och få att:

Vi har nu skrivit om ursprungliga integralen som ska lösas som en summa av två andra integraler.

Lasse Vegas skrev:
I uttrycket längst ner kan du subtrahera integralen för kurva 2 på båda sidorna och få att:

Vi har nu skrivit om ursprungliga integralen som ska lösas som en summa av två andra integraler.

Så för att få gamma 1 +gamma 2 så ska summera 2*pdx och 2*Qdy

Nej, gamma 1 + gamma 2 innebär bara att man integrerar över kurva 1 och kurva 2 TILLSAMMANS.

Lasse Vegas skrev:
Nej, gamma 1 + gamma 2 innebär bara att man integrerar över kurva 1 och kurva 2 TILLSAMMANS.

Okej så hur gör jag då? Det står 2 st olika gamma och en annan gamma som jag inte vet vad det är.

Det är ett frågetecken högst upp till vänster som råkade komma med. Gamma 1 (kurva 1) är den del av kurvan som är given i frågan. Gamma 2 (kurva 2) är utökningen vi gjorde för att få en sluten kurva. Gamma 1 + gamma 2 innebär då bara att man ska integrera över både kurva 1 och kurva 2 (dvs hela ellipsen).

Lasse Vegas skrev:
Det är ett frågetecken högst upp till vänster som råkade komma med. Gamma 1 (kurva 1) är den del av kurvan som är given i frågan. Gamma 2 (kurva 2) är utökningen vi gjorde för att få en sluten kurva. Gamma 1 + gamma 2 innebär då bara att man ska integrera över både kurva 1 och kurva 2.

Okej. Men jag har lite svårt att veta vad jag ska lösa ut?

Lasse Vegas skrev:
I uttrycket längst ner kan du subtrahera integralen för kurva 2 på båda sidorna och få att:

Vi har nu skrivit om ursprungliga integralen som ska lösas som en summa av två andra integraler.

Uttrycket längst till vänster är det du ska räkna ut. Det gör vi genom att bestämma de två integralerna i HL.

Det är NU Greens sats kommer in i bilden! Eftersom kurva 1 + kurva 2 utgör en sluten kurva kan vi använda Greens sats på den integralen!

Integralen längst till höger som man ska subtrahera räknas ut på ett lämpligt sätt. Genom att göra lämpliga val av utökningen till kurvan så kan beräkningen underlättas väldigt mycket.

Lasse Vegas skrev:
Lasse Vegas skrev:
I uttrycket längst ner kan du subtrahera integralen för kurva 2 på båda sidorna och få att:

Vi har nu skrivit om ursprungliga integralen som ska lösas som en summa av två andra integraler.

Uttrycket längst till vänster är det du ska räkna ut. Det gör vi genom att bestämma de två integralerna i HL.

Det är NU Greens sats kommer in i bilden! Eftersom kurva 1 + kurva 2 utgör en sluten kurva kan vi använda Greens sats på den integralen!

Men jag förstår inte riktigt. Vi ska bestämma integralen för en sluten kurva och du säger att jag ska räkna integralen för två kurvor , jag tror det är där jag tappar bort dig. Varför kan man inte fokusera på en enda integral som kan vara summan av hela ellipsen?

Ursprungliga uppgiften är att lösa den här integralen

Det är alltså slutmålet att beräkna dess värde. Det gör vi genom att bestämma två andra integraler, de som finns i HL. En av de är över en sluten kurva. En av de är över utökningen. Vad jag har försökt säga är att vi BEHÖVER räkna ut båda dessa integraler, men inte samtidigt. Så nästa steg i processen är att välja en integral att lösa, och då kan vi ta och lösa ut den över kurva 1 + kurva 2 MHA Greens sats.

destiny99 skrev:
Lasse Vegas skrev:
Lasse Vegas skrev:
I uttrycket längst ner kan du subtrahera integralen för kurva 2 på båda sidorna och få att:

Vi har nu skrivit om ursprungliga integralen som ska lösas som en summa av två andra integraler.

Uttrycket längst till vänster är det du ska räkna ut. Det gör vi genom att bestämma de två integralerna i HL.

Det är NU Greens sats kommer in i bilden! Eftersom kurva 1 + kurva 2 utgör en sluten kurva kan vi använda Greens sats på den integralen!

Men jag förstår inte riktigt. Vi ska bestämma integralen för en sluten kurva och du säger att jag ska räkna integralen för två kurvor , jag tror det är där jag tappar bort dig. Varför kan man inte fokusera på en enda integral som kan vara summan av hela ellipsen?

Kurva 1 + kurva 2 är hela ellipsen. Det är det som är så bra.

Lasse Vegas skrev:
destiny99 skrev:
Lasse Vegas skrev:
Lasse Vegas skrev:
I uttrycket längst ner kan du subtrahera integralen för kurva 2 på båda sidorna och få att:

Vi har nu skrivit om ursprungliga integralen som ska lösas som en summa av två andra integraler.

Uttrycket längst till vänster är det du ska räkna ut. Det gör vi genom att bestämma de två integralerna i HL.

Det är NU Greens sats kommer in i bilden! Eftersom kurva 1 + kurva 2 utgör en sluten kurva kan vi använda Greens sats på den integralen!

Men jag förstår inte riktigt. Vi ska bestämma integralen för en sluten kurva och du säger att jag ska räkna integralen för två kurvor , jag tror det är där jag tappar bort dig. Varför kan man inte fokusera på en enda integral som kan vara summan av hela ellipsen?

Kurva 1 + kurva 2 är hela ellipsen. Det är det som är så bra.

Jag har ingen aning hur det ska lösas.

Ta och läs inlägg #39 igen och se om du förstår vad vi ska göra.

Lasse Vegas skrev:
Ta och läs inlägg #39 igen och se om du förstår vad vi ska göra.

Jag läste men är fortfarande fast som sagt. Ellipsens ekvation för hela cirkeln är inte givet.

Det är den som är given i frågan, x^2 + (y/2)^2 = 1.

Men i ursprungliga frågan rör vi oss från (1, 0) till (0, -2) vilket utgör kurva 1. Kurva 1 + kurva 2 utgör hela ellipsen och då rör vi oss alltså från (1, 0) tillbaka till (1, 0) genom att göra ett helt varv.

Lasse Vegas skrev:
Det är den som är given i frågan, x^2 + (y/2)^2 = 1.

Ah okej

Tänk på att integralen innehåller en singulär punkt i origo. För att få använda Greens formel får området inte innehålla en singulär punkt.

Skapa därför ett område som på ett bekvämt sätt går runt den förbjudna punkten.

Lasse Vegas skrev:
Men i ursprungliga frågan rör vi oss från (1, 0) till (0, -2) vilket utgör kurva 1. Kurva 1 + kurva 2 utgör hela ellipsen och då rör vi oss alltså från (1, 0) tillbaka till (1, 0) genom att göra ett helt varv.

Hur ser ellipsens ekvation ut då? Är den samma för ett helt varv?

D4NIEL skrev:
Tänk på att integralen innehåller en singulär punkt i origo. För att få använda Greens formel får området inte innehålla en singulär punkt.

Skapa därför ett område som på ett bekvämt sätt går runt den förbjudna punkten.

Hur menar du?

D4NIEL skrev:
Tänk på att integralen innehåller en singulär punkt i origo. För att få använda Greens formel får området inte innehålla en singulär punkt.

Skapa därför ett område som på ett bekvämt sätt går runt den förbjudna punkten.

Sant, tänkte inte alls på att den är odefinerad i origo.

Lasse Vegas skrev:
D4NIEL skrev:
Tänk på att integralen innehåller en singulär punkt i origo. För att få använda Greens formel får området inte innehålla en singulär punkt.

Skapa därför ett område som på ett bekvämt sätt går runt den förbjudna punkten.

Sant, tänkte inte alls på att den är odefinerad i origo.

Ska vi fortfarande använda det vi kom överens om?

Är osäker vad man ska göra åt punkten i mitten.

Enda jag kommer på för tillfället är att göra det till ett gränsvärde och låta r gå mot noll men inte bli noll, men är osäker på om det påverkar något annat i beräkningen.

Ett tips är att använda åtminstone någon del av enhetscirkeln eftersom nämnaren är konstant = 1 på enhetscirkeln så integralen blir enkel.

PATENTERAMERA skrev:
Ett tips är att använda åtminstone någon del av enhetscirkeln eftersom nämnaren är konstant = 1 på enhetscirkeln så integralen blir enkel.

Okej hur ska man göra då så att vi får en sluten kurva?

Här är ett förslag:

Förövrigt kan man även använda en skalär potentialfunktion (om ni läst om potentialer). Då blir integralen bara skillnaden i potential mellan startpunkten och slutpunkten.

Smart, man kan ju göra på det sättet ja. Har glömt bort hur potentialer fungerar dock.

Lasse Vegas skrev:
Smart, man kan ju göra på det sättet ja. Har glömt bort hur potentialer fungerar dock.

Vi har inte kommit till potentialer ännu. Så jag ska alltså gå från gamma1 ? Jag är osäker på om ni menar detta nedan. (Jag ger upp denna frågat tills någon kommer på hur vi ska forsätta vidare). Spenderat länge på den nu 😊

Du har ju all information som behövs för att lösa uppgiften - se speciellt D4NIELS figur. Jag tycker inte du skall skippa denna uppgift eftersom den innehåller bra övning på ett antal tekniker och klurigheter som man kan behöva känna till, inte minst på en tenta.

PATENTERAMERA skrev:
Du har ju all information som behövs för att lösa uppgiften - se speciellt D4NIELS figur. Jag tycker inte du skall skippa denna uppgift eftersom den innehåller bra övning på ett antal tekniker och klurigheter som man kan behöva känna till, inte minst på en tenta.

Jag skippade inte den men daniels figur fick mig inte på några tankar på hur jag ska fortsätta. Blev fast i 10-15 min sen gick jag vidare till andra frågor.

Du har ju nu ett slutet område som du kan tillämpa Greens på. Origo ligger inte i området så vi slipper problem med singulariteten. Integralerna längs gröna och röda kurvsegmenten är enkla.

PATENTERAMERA skrev:
Du har ju nu ett slutet område som du kan tillämpa Greens på. Origo ligger inte i området så vi slipper problem med singulariteten. Integralerna längs gröna och röda kurvsegmenten är enkla.

Hm men hur ska uppställningen se ut? Vad är gamma 3 och gamma 2? Är gamma 3 integralen från (0,-2) till (1,0)? Är gamma 2 integralen från (0,-2) till (0,0)? Vad är det gula området?

Den röda är längs enhetscirkeln från (0, -1) till (1, 0).

Den gröna är från (0, -2) till (0, -1).

Det gula är det 2D-område som du skall integrera $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ över. Men eftersom $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0$ så blir den integralen automatiskt noll.

PATENTERAMERA skrev:
Den röda är längs enhetscirkeln från (0, -1) till (1, 0).

Den gröna är från (0, -2) till (0, -1).

Det gula är det 2D-område som du skall integrera $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ över. Men eftersom $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0$ så blir den integralen automatiskt noll.

Okej så jag ska integrera från (0,-1) till (1,0) först och sen addera med integralen från (0,-2) till (0,-1) ? Men problemet är att Dq/dx-Dp/dy=0 som du säger med greens.

Det är väl inget problem. Integralen av noll är noll.

PATENTERAMERA skrev:
Det är väl inget problem. Integralen av noll är noll.

yes för gamma 1 integral området är det ju det. Men sen säger facit svaret är 3pi/2. om vi vet att gränserna för gamma 2 är från 3pi/2 till 0, hur kan vi ta reda integranden? då är det väl inte greens formel vi ska använda, utan kurvintegral ?

Eftersom dubbelintegralen blir noll så gäller det att

$\int_{γ_{1}} P d x + Q d y = - (\int_{γ_{2}} P d x + Q d y + \int_{γ_{3}} P d x + Q d y)$ . Där VL är den sökta integralen.

Det är lätt att inse att integralen längs gamma2 blir noll.

Integralen längs gamma3 löses med parametrisering. x = cost, y = sint, där t går från 3pi/2 till 0.

PATENTERAMERA skrev:
Eftersom dubbelintegralen blir noll så gäller det att

$\int_{γ_{1}} P d x + Q d y = - (\int_{γ_{2}} P d x + Q d y + \int_{γ_{3}} P d x + Q d y)$ . Där VL är den sökta integralen.

Det är lätt att inse att integralen längs gamma2 blir noll.

Integralen längs gamma3 löses med parametrisering. x = cost, y = sint, där t går från 3pi/2 till 0.

Jag förstår inte varför integralen längs gamma 2 är 0. Jag trodde det var integralen längs gamma 1 som var 0. Varför är det minus framför summan av integral av gamma 2 och gamma 3?

Angående hur man löser integral av gamma 3. Vi vet ej vad P och Q är i detta fall? Sen har du en cirkel paramtrisering och i uppgiften har vi en ellips.

Integralen längs gamma1 är ju det som du skall beräkna i uppgiften.

Kalla hela den slutna kurvan för $γ$ , den består således av gamma1 + gamma2 + gamma3.

Kalla området (det gula) innanför $γ$ för $Γ$ .

Enligt Greens formel gäller då.

$\int_{γ} P d x + Q d y = \iint_{Γ} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y = \iint_{Γ} 0 d x d y$ =0.

Vidare har du att

$\int_{γ} P d x + Q d y = \int_{γ_{1}} P d x + Q d y + \int_{γ_{2}} P d x + Q d y + \int_{γ_{3}} P d x + Q d y$ .

Om du kombinerar ovanstående så får du

$\int_{γ_{1}} P d x + Q d y = - (\int_{γ_{2}} P d x + Q d y + \int_{γ_{3}} P d x + Q d y)$ .

P och Q hittar du i problemtexten som du nog måste läsa igen för att du verkar glömt vad vi är ute efter.

Notera att på y-axeln så är x = 0 och då även dx = 0. Därför ser man direkt att man inte får något bidrag på gamma2.

PATENTERAMERA skrev:
Integralen längs gamma1 är ju det som du skall beräkna i uppgiften.

Kalla hela den slutna kurvan för $γ$ , den består således av gamma1 + gamma2 + gamma3.

Kalla området (det gula) innanför $γ$ för $Γ$ .

Enligt Greens formel gäller då.

$\int_{γ} P d x + Q d y = \iint_{Γ} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y = \iint_{Γ} 0 d x d y$ =0.

Vidare har du att

$\int_{γ} P d x + Q d y = \int_{γ_{1}} P d x + Q d y + \int_{γ_{2}} P d x + Q d y + \int_{γ_{3}} P d x + Q d y$ .

Om du kombinerar ovanstående så får du

$\int_{γ_{1}} P d x + Q d y = - (\int_{γ_{2}} P d x + Q d y + \int_{γ_{3}} P d x + Q d y)$ .

P och Q hittar du i problemtexten som du nog måste läsa igen för att du verkar glömt vad vi är ute efter.

Notera att på y-axeln så är x = 0 och då även dx = 0. Därför ser man direkt att man inte får något bidrag på gamma2.

Ok jag är ganska med nu än tidigare. Så gamma 3 har punkterna (0,-1) och (1,0) eller hur? Och gamma 3 utgör en cirkel och inte en ellips som gamma 1 eller?

gamma3 är en del av en cirkel, ja. Titta på figuren i #58.