Greens formel, kurvintegral halvellips. Flervariabelanalys

Hej,

Felet ligger i när du går från dxdy till drdt. Beräkna transformationens funktionaldeterminant ordentligt denna gång. 

I sista steget har du glömt att ett tal i kvadrat blir positivt, du får alltså $\frac12-\frac12=0$ istället.

I det första steget har du glömt att räkna ut funktionaldeterminanten för koordinatbytet (den är inte $r$, men nästan!). Alternativt kan du använda en färdig formel för ellipsens area.

Två fel.

Du inför polära koordinater. Men eftersom området inte är en halvcirkel, utan en halv ellips, så får du inte den dubbelintegral som du sätter upp.

Integralen på ${\gamma }_1$ blir noll.

Notera att dubbelintegralen är 2 gånger arean av en halv ellips, dvs arean av en hel ellips.

Arean av en ellips är (enligt formel från gymnasiet) $\pi ab$, då ellipsen ges av $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.

Här är a = 1 och b = 1/$\sqrt{2}$. Så vi får Arean = $\pi /\sqrt{2}$, vilket således är värdet på integralen.

Albiki skrev:

Hej,

Felet ligger i när du går från dxdy till drdt. Beräkna transformationens funktionaldeterminant ordentligt denna gång. 

stämmer koordinaterna x= rcos phi, y = $\sqrt{\frac{1}{2}}r\sin \phi$?

PATENTERAMERA skrev:

Två fel.

Du inför polära koordinater. Men eftersom området inte är en halvcirkel, utan en halv ellips, så får du inte den dubbelintegral som du sätter upp.

Integralen på ${\gamma }_1$ blir noll.

Notera att dubbelintegralen är 2 gånger arean av en halv ellips, dvs arean av en hel ellips.

Arean av en ellips är (enligt formel från gymnasiet) $\pi ab$, då ellipsen ges av $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.

Här är a = 1 och b = 1/$\sqrt{2}$. Så vi får Arean = $\pi /\sqrt{2}$, vilket således är värdet på integralen.

Vilket är felet i min dubbelintegral? Är det något utöver att jag har fel funktionaldet.?

Jroth skrev:

I sista steget har du glömt att ett tal i kvadrat blir positivt, du får alltså $\frac12-\frac12=0$ istället.

I det första steget har du glömt att räkna ut funktionaldeterminanten för koordinatbytet (den är inte $r$, men nästan!). Alternativt kan du använda en färdig formel för ellipsens area.

stämmer denna funktionaldet för detta problem?

$\left|\begin{array}{cc}\cos \phi & -r\sin \phi \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\sin \phi & \frac{1}{\sqrt{2}}r\cos \phi \end{array}\right|$?

Ja, funktionaldeterminanten blir $\frac{1}{\sqrt{2}}r$. Räkna ut ytintegralen och rätta till linjeintegralen (det sista steget) så ska du se att det blir rätt svar :)

löste det! Tack alla!