Greens formel, förstå en knasig sak

Det verkar ju som en rejäl omväg att använda Greens formel här. Om man nu ändå ska lösa uppgiften med Greens formel så måste man dra valfri annan kurva runt origo och använda Greens formel på området mellan kurvorna. Då verkar en cirkel med radie ≤ 1 lämplig.

Greens formel handlar om att beräkna en dubbelintegral i stället för en kurvintegral. Dubbelintegralen är över området innanför randen. Origo ligger i det området. Man skär bort området innanför enhetscirkeln för att hålla sig borta från origo.

Hej Kvadratenskvadrat,

Ditt fält är kontinuerligt deriverbart utanför z-axeln (eller om vi nöjer oss med xy-planet, origo).

Vektorfältet är singulärt på z-axeln $x^2+y^2$=0.

Eftersom $\nabla \times \mathbf{F}=0$ utanför $x^2+y^2=0$ bör en tillämpning av Greens formel (Stokes sats) medföra förenklade beräkningar. Men då måste man ombesörja att integrationen sker över ytor som inte skärs av z-axeln (inte innehåller den singulära punkten). Det är därför man i facit väljer att lägga en yta som begränsas av dels kvadraten, dels cirkeln. Cirkelns uppgift är att utestänga singulariteten från integrationen. Du kan välja en cirkel med vilken radie som helst, förutsatt att du håller dig inom kvadraten och samtidigt som du håller singulariteten ute.

Nu verkar de dock ha knarkat lite i facit eftersom ditt fält och räkningarna blir mycket enklare i cylindriska koordinater $(\rho, \varphi, z)$, $\mathbf{F}=\frac{1}{\rho}\hat{\varphi}$.

Enligt Stokes sats:

$\oint_\gamma\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}+\oint_\sigma\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=\int_D(\nabla\times \mathbf{F})\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=0\quad (\text{ty }\nabla \times \mathbf{F}=0)$

$\displaystyle {\oint_\gamma\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=\oint_{-\sigma}(\frac{1}{\cancel{\rho}}\hat{\varphi})\cdot(\cancel{\rho} \mathrm{d}\varphi\hat{\varphi})}=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\varphi=2\pi$

Ahapp. Intressant må jag säga. 

Tack för det utmärkta svaret Guggle :) Ha det fint allesammans och tack för hjälpen