Greens formel. f(e^x, x^2y)

Du har nog tänkt rätt. Om du testar räkna ut integralen för raksträckorna kommer du se att de bara råkar bli 0 i just den här uppgiften. Så då är värdet på C lika stort som runt hela.

Micimacko skrev:

Du har nog tänkt rätt. Om du testar räkna ut integralen för raksträckorna kommer du se att de bara råkar bli 0 i just den här uppgiften. Så då är värdet på C lika stort som runt hela.

Det är det som inte riktigt blir rätt..
Integralen för L2 = 0 men jag förstår inte riktigt hur medan integralen för L1 blir $e-1$

Jag förstår inte hur raksträckorna L1 och L2 beräknas. Jag vet att gränserna är $0\le längd\le 1$för båda sträckorna men funderar på om funktionerna är olika.

Min enda tanke är att L1 har funktionen $e^x$och att L2 har funktionen $x^{2}y$, och att jag sedan kör integralerna enligt:

${\int }_{L1}{e}^{x}dx ={{\left[e^x\right]}^1}_0=(e-1)$

${\int }_{L2}{x}^{2}ydy={{\left[\frac{x^2{y}^2}{2}\right]}^1}_0=\frac{1}{2}$

Men integranden för L2 ska bli noll, gör jag något uppenbart fel?

PhilipL skrev:

Micimacko skrev:

Du har nog tänkt rätt. Om du testar räkna ut integralen för raksträckorna kommer du se att de bara råkar bli 0 i just den här uppgiften. Så då är värdet på C lika stort som runt hela.

Det är det som inte riktigt blir rätt..
Integralen för L2 = 0 men jag förstår inte riktigt hur medan integralen för L1 blir $e-1$

Jag förstår inte hur raksträckorna L1 och L2 beräknas. Jag vet att gränserna är $0\le längd\le 1$för båda sträckorna men funderar på om funktionerna är olika.

Min enda tanke är att L1 har funktionen $e^x$och att L2 har funktionen $x^{2}y$, och att jag sedan kör integralerna enligt:

${\int }_{L1}{e}^{x}dx ={{\left[e^x\right]}^1}_0=(e-1)$

${\int }_{L2}{x}^{2}ydy={{\left[\frac{x^2{y}^2}{2}\right]}^1}_0=\frac{1}{2}$

Men integranden för L2 ska bli noll, gör jag något uppenbart fel?

För L2, vad är x där? 

För L2, vad är x där? 

Visa spoiler

Du kan parametrisera L2 som y=y och x=0

Jag ser det absolut men kan man göra parametriseringen tydligare? kanske m.a.p. t?

Du kan kalla y för t om du vill. 0 är 0 oavsett.

Micimacko skrev:

Du kan kalla y för t om du vill. 0 är 0 oavsett.

haha jaa, absolut. 

Det gäller helt enkelt bara att se att x=0

Hej PhilipL,

Tillsammans med linjerna $L_1$ och $L_2$ innesluter kurvan $C$ ett område $D$, vars rand utgörs av de tre kurvorna; du kan skriva detta såhär

    $\partial D = C \cup L_1 \cup L_2$.

Du kan tillämpa Greens formel på detta område.

    $\oint_{\partial D} = \iint_{D}.$

Men kurvintegralen kan skrivas som en summa av tre kurvintegraler

    $\oint_{\partial D} = \oint_{C}+\oint_{L_1}+\oint_{L_2}$

så att Greens formel ger dig den sökta kurvintegralen som

    $\oint_{C} = \iint_{D} - \oint_{L_1} - \oint_{L_2}.$

Linjen $L_1$ parameteriseras som

    $L_1 = \{(t,0) : 0 \leq t \leq 1\}$

och linjen $L_2$ parameteriseras som

    $L_{2} = \{(0,s) : 0 \leq s \leq 1\}$.

Det gör att kurvintegralen längs $L_1$ blir

    $\oint_{L_1} P\,dx + Q\,dy = \int_{t=0}^{1} P(t,0)\,dt=\int_{0}^{1}e^{t}\,dt=e-1$

och att kurvintegralen längs $L_2$ blir

    $\oint_{L_2}P\,dx+Q\,dy = \int_{s=1}^{0} Q(0,s)\,ds = \int_{1}^{0}0\,ds = 0$;

notera att $L_2$ startar med $s=1$ och slutar med $s=0$, medan $L_1$ startar med $t=0$ och slutar med $t=1$.

Tack! Bra beskrivning!

Ytintegralen blir 

    $\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dxdy = \iint_{D} (2xy-0)\,dxdy.$

Byte till planpolära koordinater $(r,\theta)$ ger att området $D$ kan skrivas som 

    $E = \{(r,\theta) : 0\leq r \leq 1 \text{ och } 0\leq \theta \leq \pi/2\}$

och differentialytelementet $dxdy$ blir $r\,drd\theta$ vilket ger ytintegralen som en produkt av två enkelintegraler.

    $\iint_E 2r^3\cos\theta\sin\theta\,drd\theta = \left\{\int_{r=0}^{1}r^3\,dr\right\}\cdot \left\{\int_{\theta=0}^{\pi/2} \sin 2\theta \,d\theta \right\} = \frac{1}{4} \cdot 1= \frac{1}{4}.$

Resultat: Den sökta kurvintegralen blir

    $\oint_{C} P\,dx+Q\,dy = \frac{5}{4}- e.$