Greens formel

Jag förstår inte din beräkning. Varför har du ritat upp linjen $y=-x+1$? Vad har den med saken att göra?

Hur beräknar du integralen? Genom att parametrisera?

Hej!

I Desmos ritar man integrationsområdet ($D$) som är färgat mörkt lila.

Områdets rand $\partial D$  består av tre delar:

• kurvan $\gamma$: den del av cirkeln $x^2+y^2=1$ som startar i punkten $(2^{-0.5},2^{-0.5})$ och slutar i punkten $(-1,0)$
• kurvan $\gamma_1$: den del av ellipsen $x^2+3y^2=1$ som startar i punkten $(-1,0)$ och slutar i punkten $(0.5,0.5)$ 
• kurvan $\gamma_2$: den del av den räta linjen $y=x$ som startar i punkten $(0.5,0.5)$ och slutar i punkten $(2^{-0.5},2^{-0.5})$.

Det betyder att integralen längs randen $\partial D$ kan delas upp i tre stycken linjeintegraler. Enligt Gauss sats är integralen längs randen lika med dubbelintegral över området $D$, och det visar sig att dubbelintegralens integrand är lika med noll. 

    $\displaystyle\oint_{\gamma} + \oint_{\gamma_1} + \oint_{\gamma_2} = \oint_{\partial D} = \iint_{D} 0 = 0 \iff \oint_{\gamma} = -\oint_{\gamma_1} - \oint_{\gamma_2}.$

Det visar sig att linjeintegralen $\oint_{\gamma_2} = 0$ och att linjeintegralen $\oint_{\gamma_1} = -2\pi/(3\sqrt{3})$  --- minustecknet kommer från att min definition av $\gamma_1$ startar i punkten $(-1,0)$ medan facits definition av $\gamma_1$ slutar i punkten $(-1,0)$ --- så att den sökta  linjeintegralen är

    $\displaystyle\oint_{\gamma} = 2\pi/(3\sqrt{3}).$

Albiki skrev:

Hej!

I Desmos ritar man integrationsområdet ($D$) som är färgat mörkt lila.

Områdets rand $\partial D$  består av tre delar:

• kurvan $\gamma$: den del av cirkeln $x^2+y^2=1$ som startar i punkten $(2^{-0.5},2^{-0.5})$ och slutar i punkten $(-1,0)$
• kurvan $\gamma_1$: den del av ellipsen $x^2+3y^2=1$ som startar i punkten $(-1,0)$ och slutar i punkten $(0.5,0.5)$ 
• kurvan $\gamma_2$: den del av den räta linjen $y=x$ som startar i punkten $(0.5,0.5)$ och slutar i punkten $(2^{-0.5},2^{-0.5})$.

Det betyder att integralen längs randen $\partial D$ kan delas upp i tre stycken linjeintegraler. Enligt Gauss sats är integralen längs randen lika med dubbelintegral över området $D$, och det visar sig att dubbelintegralens integrand är lika med noll. 

    $\displaystyle\oint_{\gamma} + \oint_{\gamma_1} + \oint_{\gamma_2} = \oint_{\partial D} = \iint_{D} 0 = 0 \iff \oint_{\gamma} = -\oint_{\gamma_1} - \oint_{\gamma_2}.$

Det visar sig att linjeintegralen $\oint_{\gamma_2} = 0$ och att linjeintegralen $\oint_{\gamma_1} = -2\pi/(3\sqrt{3})$  --- minustecknet kommer från att min definition av $\gamma_1$ startar i punkten $(-1,0)$ medan facits definition av $\gamma_1$ slutar i punkten $(-1,0)$ --- så att den sökta  linjeintegralen är

    $\displaystyle\oint_{\gamma} = 2\pi/(3\sqrt{3}).$

 Alkibi, om man inte vill använda Demos till det där alltså bara att lära sig att se som om det vore en tenta, utan dator. 

•  Hur fick du att cirkeln startar i de punkterna, och avslutas i den punkten? (Utan att använda Demos)?
• Samma sak där, allstå start-och-slutpunkt
• haha samma sak där,  allstå start-och-slutpunkt.

1. Rita halvcirkeln $x^2+y^2=1$ i det övre halvplanet (där $y\geq 0$).
2. Rita den räta linjen $y=x$ i den övre halvplanet.
3. Bestäm skärningspunkten $(2^{-0.5},2^{-0.5})$ mellan cirkeln och linjen.
4. Rita ellipsen $x^2+3y^2=1$ i det övre halvplanet.
5. Bestäm skärningspunkten $(0.5,0.5)$ mellan ellipsen och linjen.

Albiki skrev:

1. Rita halvcirkeln $x^2+y^2=1$ i det övre halvplanet (där $y\geq 0$).
2. Rita den räta linjen $y=x$ i den övre halvplanet.
3. Bestäm skärningspunkten $(2^{-0.5},2^{-0.5})$ mellan cirkeln och linjen.
4. Rita ellipsen $x^2+3y^2=1$ i det övre halvplanet.
5. Bestäm skärningspunkten $(0.5,0.5)$ mellan ellipsen och linjen.

1.  Är jag med på
2. varför blir det $y=x$
3. antar att $(2^{-0.5},2^{-0.5})$ kommer ifrån för det är där de hamnar på enhetscirkeln
4. oki
5. var kommer $(0.5,0.5)$ ifrån? :$

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Du vill egentligen bara ha fram integralen längs 1/8 av enhetscirkeln, den delen som ligger i första kvadranten närmast y-axeln. Den integralen du har är fruktansvärd att beräkna, så du gör (nästan) vad som helst för att hitta något som är lättare. Eftersom nämnarna i integralen ser ut som de gör, skulle det vara mycket lättare att beräkna integralen för en kurva där nämnaren har samma värde hela tiden - det finns en sådan kurva, och det är ellipsen $x^2+3y^2=k$. Om man väljer värdet på $k$ smart, så kan man få en ellips som har en ändpunkt gemensam med cirkelbågen och där den andra ändpunkten ligger så att det inte blir alltför krånglig att integrera längs en rät linje från ellipsens andra ände till cirkelns andra ände.

EDIT: Oj jag läste fel, det skall vara 3/8 av enhetscirkeln - hela den delen som ligger i andra kvadranten också.

Smaragdalena skrev:

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Du vill egentligen bara ha fram integralen längs 1/8 av enhetscirkeln, den delen som ligger i första kvadranten närmast y-axeln. Den integralen du har är fruktansvärd att beräkna, så du gör (nästan) vad som helst för att hitta något som är lättare. Eftersom nämnarna i integralen ser ut som de gör, skulle det vara mycket lättare att beräkna integralen för en kurva där nämnaren har samma värde hela tiden - det finns en sådan kunrva, och det är ellipsen $x^2+3y^2=k$. Om man väljer värdet på $k$ smart, så kan man få en ellips som har en ändpunkt gemensam med cirkelbågen och där den andra ändpunkten ligger så att det inte blir alltför krånglig att integrera längs en rät linje från ellipsens andra ände till cirkelns andra ände.

 Tänker att det borde finnas något sätt att räkna ut det på, än att för mig - med det icke så bra matematiska ögat - se det. Jag tänker att jag skulle sätta

Och typ.. vet inte om man kan tänka så? På något sätt? för att finna detta $k$? :$ 

Det skulle vara underbart att låta ellipsen ha sin ena ändpunkt i $(-1,0)$ - vilket k får detta att stämma? Aha, $k=1$. Det vore bra om andra änden ligger på linjen $y=x$. Sätt in detta i ellipsens ekvation och räkna.