Greens formel

Hej!

Cirkeln kan parameteriseras som

    $\displaystyle \left\{\begin{matrix}x &= a + r\cos\theta\\y&=b+r\sin\theta\end{matrix}\right.$ där $\theta\in[0,2\pi]$.

Då blir differentialerna $dx = -r\sin\theta d\theta$ och $dy = r\cos\theta d\theta$ vilket ger kurvintegralen

    $\displaystyle \oint_{\nu}Pdx+Qdy = \int_{\theta=0}^{2\pi}(b+r\sin\theta)^2(-r\sin\theta) d\theta+(a + r\cos\theta)^2(r\cos\theta) d\theta = 2\pi r^2(a-b).$

Albiki

okej jag är med på insättningen men har lite problem att räkna ihop det till $2\pi r^2(a-b)$

Visa hur du förenklar och beräknar integralen, så kommer du att få hjälp om/när du kör fast.

Ett alternativ är, eftersom det är en sluten cirkel och både y^2 och x^2 är definierad över hela området som cirkeln spänner upp (de är ju definierade för alla x och y), att använda använda Greens formel. Då kan du vänta lite med parametriseringen tills du kommit till dubbelintegralen. Min inledning på Greens formel blir såhär (låt D vara området som har v som rand):

${\int }_v{y}^{2}dx+x^{2}dy={\iint }_D\frac{d}{dx}{x}^2-\frac{d}{dy}{y}^{2}dxdy={\iint }_{D}2x-2ydxdy$

Här kan du göra ungefär den paramterisering som Albiki föreslog, men byta r till $\rho \in \left[\begin{array}{cc}0& r\end{array}\right]$ (det är ju nu ett område vi pratar om, tidigare låg punkten alltid på cirkeln, men nu kan den alltså ligga innanför) och glöm inte att $dxdy=\rho d\rho d\theta$.

Greens formel kan ofta förenkla kalkylerna lite, i och med att du med vanlig parametrisering får cos och sin-termer upphöjda till 3, som kan vara like kluriga att räkna ut primitiver till. Båda sätt fungerar såklart och ger samma svar.

ok  så ska det alltså bli:

dxdy=$\rho d\rho d\theta$ så vi får $\int P\rho d\pm Q\rho d\theta$ = ${\int }_{\theta =0}^{2\pi }{\left(b\pm \rho \sin \theta \right)}^2(-\rho \sin \theta )\rho d+(a+\rho \cos \theta {)}^2(\rho \cos \theta )\rho d\vartheta$

Är det dubbelintegralen du löser nu? Då är det det ju 2x-2y du ska integrera. Om du inte övergår till dubbelintegral är det Albikis lösning som gäller.

Nej det jag försöker är att lösa Albikis svar, jag har bara problem med att få fram svaret $2\pi r^2$(a-b) när jag räknar ihop integralerna.

Hej!

Om $f$ är en udda funktion som integreras över ett symmetriskt intervall så får man resultatet noll.

    $\displaystyle \int_{-a}^{a}f(x)\,dx = 0.$

Funktionerna $f(\theta) = \sin(\theta+\pi)$ och $g(\theta) = \sin^3(\theta+\pi)$ är båda udda på det symmetriska intervallet $[-\pi,\pi]$. Det medför att integralerna

    $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \sin(\theta+\pi) \,d\theta = 0$

och

    $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \sin^{3}(\theta+\pi) \,d\theta = 0.$

Albiki

.

Det jag har problem med är hur man får $2\pi r^2$ när man multiplicerar ihop

${\int }_{\theta =0}^{2\pi }(b+r\sin \theta {)}^2(-r\sin \theta )\theta +(a+r\cos \theta {)}^2\left(r\cos \theta \right)d\theta$

Jag slår återigen ett slag för att använda Greens Formel (din tråd heter ju till och med det). Kalkylerna där blir betydligt enklare, även om det är en dubbelintegral så är de primitiva funktionerna mycket enkla att få fram.

ja det är tanken men jag har fortfarande lite svårt med formeln. Det jag ser är att formeln är $\int F\times dr=\int Pd\left(x\right)+Qd\left(y\right)=\iint \left(\begin{array}{cc}\frac{dQ}{dx}-& \frac{dP}{dy}\end{array}\right)dxdy$ 

men jag har svårt att få till det i min uppgift.

Men du har ju Hondels lösning!

Henrik Eriksson skrev :

Är det dubbelintegralen du löser nu? Då är det det ju 2x-2y du ska integrera. Om du inte övergår till dubbelintegral är det Albikis lösning som gäller.

okej men är det 2x-2y jag ska integrera blir det ju bara $x^2-y^2$ men jag är lite borta i hur man tar sig framåt

Eftersom du nu skrev igen i tråden kan jag hjälpa till lite mer.

Har du förstått hur jag kom fram till att du nu ska räkna ut 

${\iint }_{D}2x-2ydxdy$ ?

Här kan du göra en parametrisering av D (D är alltså området inuti cirkeln och jag övergår i polära koordinater):

$\left\{\begin{array}{l}x=a+\rho \cos \theta \\ y=b+\rho \sin \theta \end{array}\right.$

Dina integrationsgränser blir då:

$\left\{\begin{array}{l}0\le \rho \le r\\ 0\le \theta \le 2\pi \end{array}\right.$

Dessutom, eftersom vi gått till polära koordinater får vi också:

$dxdy=\rho d\rho d\theta$

Nu har vi allt för att sätta upp får integral. Jag gör det här:

${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^r\left(2\right(a+\rho \cos \theta )-2(b+\rho \sin \theta \left)\right)\rho d\rho d\theta$

Härifrån är det bara att utveckla uttrycket och räkna ut integralen. 

ja jag förstår hur vi får ${\iint }_{D}2x-2ydxdy$

jag förstår även hur integrationsgränserna förändras samt dxdy=$\rho d\rho d\theta$

och när det kommer till integralen har du brutit ut 2an och satt in de polära koordinaterna istället för x och y, där är jag med.

Men jag får inte ut $2\pi r^2(a-b)$

Det är ju en ganska rätt fram dubbelintegral utan några som helst trix, men jag skickar med hela så får du se vad du gjorde fel

$$\begin{gathered} 2{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{r}a\rho +{\rho }^2\cos \theta -b\rho -{\rho }^2\sin \theta d\rho d\theta = \\ =2{\int }_0^{2\pi }{{\left[\frac{a{\rho }^2}{2}+\frac{{\rho }^3}{3}\cos \theta -\frac{b{\rho }^2}{2}-\frac{{\rho }^3}{3}\sin \theta \right]}^r}_{0}d\theta = \\ =2{\int }_0^{2\pi }\frac{a{r}^2}{2}+\frac{r^3}{3}\cos \theta -\frac{b{r}^2}{2}-\frac{r^3}{3}\sin \theta d\theta = \\ =2{{\left[\frac{a{r}^2}{2}\theta +\frac{r^3}{3}\sin \theta -\frac{b{r}^2}{2}\theta +\frac{r^3}{3}\cos \theta \right]}^{2\pi }}_0= \\ =2\left(\frac{a{r}^2}{2}2\pi -\frac{r^3}{3}\sin 2\pi -\frac{b{r}^2}{2}2\pi +\frac{r^3}{3}\cos 2\pi -\left(\frac{a{r}^2}{2}0-\frac{r^3}{3}\sin 0-\frac{b{r}^2}{2}0+\frac{r^3}{3}\cos 0\right)\right)= \\ =2\left(a{r}^2\pi -b{r}^2\pi +\frac{r^3}{3}-\frac{r^3}{3}\right)=2\left(a{r}^2\pi -b{r}^2\pi \right)=2\pi r^2\left(a-b\right) \end{gathered}$$

Det jag haft svårt med är sista steget när man bryter ut 2($a{r}^2\pi -b{r}^2\pi$) till $2\pi r^2(a-b)$

borde inte $(r^2\pi -r^2\pi )$ ta ut varandra?

Det står inte (r2 pi - r2 pi) någonstans. Jämför 3 ägg minus 2 ägg = (3-2) ägg.

Bara om a = b. Det är ju som 75x - 75y = 75(x-y). 75 tar inte ut varandra.

Albiki skrev :

Hej!

Cirkeln kan parameteriseras som

    x=a+rcosθy=b+rsinθ \displaystyle \left\{\begin{matrix}x &= a + r\cos\theta\\y&=b+r\sin\theta\end{matrix}\right. där θ∈[0,2π] \theta\in[0,2\pi] .

Då blir differentialerna dx=-rsinθdθ dx = -r\sin\theta d\theta och dy=rcosθdθ dy = r\cos\theta d\theta vilket ger kurvintegralen

    ∮νPdx+Qdy=∫θ=02π(b+rsinθ)2(-rsinθ)dθ+(a+rcosθ)2(rcosθ)dθ=2πr2(a-b).\displaystyle \oint_{\nu}Pdx+Qdy = \int_{\theta=0}^{2\pi}(b+r\sin\theta)^2(-r\sin\theta) d\theta+(a + r\cos\theta)^2(r\cos\theta) d\theta = 2\pi r^2(a-b).

Albiki

Hej! Vad använder du för tangenter för att kunna skriva dessa fina matematiska formler på ett originell sätt?

Har du någon form av Programvara för det?

Hondel skrev :

Det är ju en ganska rätt fram dubbelintegral utan några som helst trix, men jag skickar med hela så får du se vad du gjorde fel

2∫02π∫0raρ+ρ2cosθ-bρ-ρ2sinθdρdθ==2∫02πaρ22+ρ33cosθ-bρ22-ρ33sinθr0dθ==2∫02πar22+r33cosθ-br22-r33sinθdθ==2ar22θ+r33sinθ-br22θ+r33cosθ2π0==2ar222π-r33sin2π-br222π+r33cos2π-ar220-r33sin0-br220+r33cos0==2ar2π-br2π+r33-r33=2ar2π-br2π=2πr2a-b

Hej!  Vad använder du för program för att skriva Matematik formler på datorn?

JosefL150 skrev :

Hondel skrev :

Det är ju en ganska rätt fram dubbelintegral utan några som helst trix, men jag skickar med hela så får du se vad du gjorde fel

2∫02π∫0raρ+ρ2cosθ-bρ-ρ2sinθdρdθ==2∫02πaρ22+ρ33cosθ-bρ22-ρ33sinθr0dθ==2∫02πar22+r33cosθ-br22-r33sinθdθ==2ar22θ+r33sinθ-br22θ+r33cosθ2π0==2ar222π-r33sin2π-br222π+r33cos2π-ar220-r33sin0-br220+r33cos0==2ar2π-br2π+r33-r33=2ar2π-br2π=2πr2a-b

Hej!  Vad använder du för program för att skriva Matematik formler på datorn?

Det är Latex (som dock blev fel i citeringen ovan), antingen skriver man den manuellt eller så kan du använda det grafiska verktyget Wiris som du öppnar genom att klicka på $\sqrt{}$-tecknet i editorns knapprad.