Greens bevis

Ett område på formen $E=\{(x,y):\varphi(x)\leq y\leq\psi(x),a\leq x\leq b\}$ ser ju ut ungefär så här:

Notera att området till höger och vänster avgränsas av vertikala linjestycken. För detta område kan vi nämligen visa:

$\displaystyle\int_{\partial E}Pdx=\iint_{E}-\frac{\partial P}{\partial y}\ dxdy$ (vilket är halva greens formel).

Detta gör vi genom att börja med integralen i högerled:

$\displaystyle\iint_{E}-\frac{\partial P}{\partial y}\ dxdy=\int_a^b(\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)}-\frac{\partial P}{\partial y}\ dy)dx=$

$\displaystyle=\int_a^b[-P\left(x,y\right)]_{\varphi(x)}^{\psi(x)}\ dx=\int_a^bP\left(x,\varphi\left(x\right)\right)\ dx-\int_a^bP\left(x,\psi\left(x\right)\right)\ dx=$

Eftersom $(x,\varphi(x))$ är en parametrisering av den nedre kurvan och $(x,\psi(x))$ är en parametrisering av den övre kurvan (fast åt fel håll, vilket gör att minustecknet framför integralen "absorberas") samt att integralerna av de vertikala linjestyckena tar ut varandra då de går i motsatt riktning blir detta kurvintegralen av $Pdx$ längs $E$s rand:

$\displaystyle=\int_{\partial E}Pdx$

Om vi gör samma sak fast med raka linjer i y-led kan vi för ett sådant område $F$ härleda:

$\displaystyle\int_{\partial F}Qdy=\iint_{F}\dfrac{\partial Q}{\partial x}\ dxdy$

Dessa två resultat kan tillsammans ge Greens formel för ett mer allmänt område. Kan du se hur?

En ledtråd är att dela upp det allmänna området i $E$- och $F$-områden.

För att förtydliga kan det vara lämpligt att skriva vad som är $x$ och vad som är $y$ i dubbelintegralen.

    $\displaystyle\int_{x=a}^{b}\left(\int_{y=\phi(x)}^{\psi(x)} -\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)\,dy\right)\,dx = \int_{x=a}^{b}[-P(x,y)]_{y=\phi(x)}^{\psi(x)}\,dx = \int_{-\gamma_{\psi}}P\,dx + \int_{\gamma_{\phi}}P\,dx$

där $\gamma_{\phi}$ betecknar grafen till funktionen $\phi:[a,b]\to\mathbb{R}$ och $\gamma_{\psi}$ grafen till funktionen $\psi: [a,b]\to\mathbb{R}$.

Men jag hittar ingenting som bevisar det.

Då har du inte letat på det mest uppenbara stället (när inte svenska räcker till)

AlvinB skrev:

 

Dessa två resultat kan tillsammans ge Greens formel för ett mer allmänt område. Kan du se hur?

En ledtråd är att dela upp det allmänna området i $E$- och $F$-områden.

 Ehm. näee.

Säg att vi tar ett mer allmänt område $D$:

Om vi nu delar upp detta område i flera områden begränsade av vertikala linjestycken till höger och vänster:

Ser du då att vart och ett av dessa nya mindre område är $E$-områden av typen från mitt förra inlägg? Det vi bevisade då tillsammans med att vi vet att integralerna av de vertikala linjestyckena tar ut varandra (eller blir noll i fallet av linjestyckena längst till höger och vänster) bevisar då halva greens formel:

$\displaystyle\int_{\partial D}Pdx=\int_{\partial E_1}Pdx+...+\int_{\partial E_4}Pdx=\iint_{E_1}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\ dxdy+...+\iint_{E_4}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\ dxdy=$

$=\displaystyle\iint_D-\dfrac{\partial P}{\partial y}\ dxdy$

Om du nu gör horisontella linjer och använder motsvarande resultat från $F$-områdena istället kan du bevisa den andra halvan.

AlvinB skrev:

Säg att vi tar ett mer allmänt område $D$:

Om vi nu delar upp detta område i flera områden begränsade av vertikala linjestycken till höger och vänster:

Ser du då att vart och ett av dessa nya mindre område är $E$-områden av typen från mitt förra inlägg? Det vi bevisade då tillsammans med att vi vet att integralerna av de vertikala linjestyckena tar ut varandra (eller blir noll i fallet av linjestyckena längst till höger och vänster) bevisar då halva greens formel:

$\displaystyle\int_{\partial D}Pdx=\int_{\partial E_1}Pdx+...+\int_{\partial E_4}Pdx=\iint_{E_1}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\ dxdy+...+\iint_{E_4}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\ dxdy=$

$=\displaystyle\iint_D-\dfrac{\partial P}{\partial y}\ dxdy$

Om du nu gör horisontella linjer och använder motsvarande resultat från $F$-områdena istället kan du bevisa den andra halvan.

 Aaaah :D Tackar.

Återkommer om jag stöter på några frågor när jag ska skriva ned detta =)