Green(?)

Var står det att a och b går mot 0?

Vad betyder *? Jag tror inte jag har sett det förut.

Laguna skrev:

Var står det att a och b går mot 0?

Vad betyder *? Jag tror inte jag har sett det förut.

 Examinatorn skriver ut * för att ”slippa” skriva ut det förX det ska ändå multipliceras med 0. 

Läser (a,0) som a till 0. Men det är ju såklart en koordinat nu när du säger det

Vad $\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))$ blir har ju egentligen ingenting med $a$ och $b$ och göra, det beror ju snarare på parametriseringen. Eftersom $x$-komponenten av parametriseringen är $t$ och $y$-komponenten är $0$ sätter vi in detta i fältet $\mathbf{F}$ och får:

$\mathbf{F}\left(\mathbf{r}\left(t\right)\right)=(\dfrac{-0}{2t^2+3\cdot0^2},\dfrac{t}{2t^2+3\cdot0^2})=\left(0,\ast\right)$

En annan variant är att ta fram ett potentialfält till $\mathbf{F}$ och beräkna kurvintegralen med hjälp av ändpunkterna.

Uppgift 3a. Kurvan är mängden $\gamma=\{(x,y): a\leq x \leq b \text{ och } y=0\}.$  När punkten $(x,y) \in \gamma$ är vektorfältet $\mathbf{F}(x,y) = (0,\frac{0.5}{x})$ och kurvintegralen är

    $\displaystyle\int_{x=a}^{b} (0,\frac{0.5}{x})\cdot (dx,0) = \int_{x=a}^{b} 0\,dx = 0.$

Uppgift 3b. Uttryckt i planpolära koordinater är kurvan $\gamma$ mängden

    $\gamma=\{(r,\theta): 0\leq \theta \leq 2\pi \text{ och }r = 1\}$

vilket visar att kurvan kan parametriseras av vinkeln $\theta$ varför $x=\cos\theta$ och $y=\sin\theta$. Vektorfältet är

    $g(\theta) = F(\cos\theta,\sin\theta) = (\frac{-\sin\theta}{2+\sin^2\theta}\ ,\frac{\cos\theta}{2+\sin^2\theta})$

och $d\mathbf{r} = (-\sin\theta dt\ , \cos\theta dt)$ vilket ger kurvintegralen

    $\displaystyle\int_{\theta=0}^{2\pi} (\frac{-\sin\theta}{2+\sin^2\theta}\ ,\frac{\cos\theta}{2+\sin^2\theta}) \cdot (-\sin\theta d\theta\ , \cos\theta d\theta)=\int_{\theta=0}^{2\pi} \frac{1}{2+\sin^2\theta}\,d\theta.$

Uppgift 3b. Integralen är

    $\displaystyle\int_{\theta=0}^{2\pi}\frac{1}{2+\sin^2\theta}\,d\theta=\frac{1}{\sqrt{6}}[\arctan(1.5\tan \theta)]_{0}^{2\pi}=\pi\sqrt{2/3}.$