gränsvärdets existens

Ditt första gränsvärde är fel, försök att skriva ut varje steg så ser du kanske vad som blir konstigt.

Såklart gör jag enkla misstag :(

Jag ändrade från $\displaystyle y=x$ till $\displaystyle x=0$ och lät andra gränsvärdet vara samma, alltså $\displaystyle y=0$ och då fick jag båda till $0$. Kan det stämma!?

EDIT: infogade en bild.

Ja nu satte du in ett annat värde och fick 0. Försök att visa att hela gränsvärdet blir 0.

Har inte jag redan gjort det? Jag har ju utgått från två olika "vägar" och fått båda $=0$ :)

Nej, läs definitionen av ett gränsvärde igen. För att visa att gränsvärdet existerar ska du visa att om man kommer närmare origo så går värdet mot ett tal(0 i detta fall). Du har endast kollat vad som händer från 2 håll, men man kan närma sig origo på oändligt många sätt.

Det stämmer att man inte kan prova bara två vägar, men här är det så att täljaren går mot 0 och nämnaren inte gör det, så gränsvärdet är alltid 0. Kan du formulera det formellt?

Jag tror inte att jag förstår hur ni menar. Ska jag titta på "vägen" t.ex. $\displaystyle y=kx$?

Nej, det kommer inte ge något bevis. Kan du definitionen av ett gränsvärde?

Om ni menar $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L$, ja. I detta fall får vi ju $\displaystyle \frac{0}{1}$ när vi stoppar in värdena för $x$ och $y$.

Är jag ute och cyklar :(?

Om du kommit till det stadiet av kursen att det anses känt att denna funktionen är kontinuerlig kan du stoppa in dina värden. Annars får du bevisa det med hjälp av definitionen, en bra uppskattning i detta fall är t ex$\frac{x^2+y^2}{1+x^4+y^8}\le \frac{x^2+y^2}{1}$

Kanske dumt av mig att inte skriva redan i början vad facit säger, det står: "Limit is 0 by continiuty. (Rational function). Vad säger vi om det??

Jo eftersom funktionen är kontinuerlig så är funktionsvärdet samma som gränsvärdet.

Så jag skulle ha fått full pott för min lösning?

Soderstrom skrev:

Så jag skulle ha fått full pott för min lösning?

Att du får 0 om du sätter in värdena? Du ska nog säga att funktionen är kontinuerlig också.

Tack så mycket!!