Gränsvärdet av derivata.

Uppgift:Beräkna gränsvärdet av $l i m x \to 0 \frac{\sqrt{x} - \sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Okej i min kursbok är det tänkt att man ska använda l hospitals regel. Derivatan blir väl då:

$\frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}}$

Förenklar lite:

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x} * (\frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}})$

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{2 x \sqrt{x}} + \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x \sqrt{1 - x^{2}}}$

Sätter man in "0" nu får man väl:

$\frac{1}{0} + \frac{1}{1} = 1$

Rätt svar enligt facit är dock -1?

Vad måste gälla för att vi ska få använda L'Hospitals regel? Eller till att börja med, när behöver vi använda L'Hospitals regel?

Det är nu upptäcker bråk vars nämnare och täljare antingen bägge går mot 0 eller bägge divergerar kring en punkt $x = a$ . Är det så i det här fallet?

Ansätter du $x = 0$ i nämnaren får du $1$ . Ansätter du det i täljaren får du $- 1$ .

Alltså behöver du inte ens använda L'Hospitals! (Och du får faktiskt inte! Då det vi sa innan måste gälla). Ibland försöker böcker lura dig med uppgifter du kan lösa sedan långt innan men får de att se onödigt komplicerade ut!

EricB skrev :

text

Ja okej. Utgick från att det va av 0/0 typ men tack för att du poängterade det. Men en fråga på de då. Säg att det går direkt att få fram gränsvärdet utan L'Hospitals regel. Använder man då L'Hospitals regel får man då ett felaktigt svar? (Det verkar ju så här eller så har jag gjort fel på vägen) Och i så fall varför blir det så?

sudd skrev :
EricB skrev :

text
Ja okej. Utgick från att det va av 0/0 typ men tack för att du poängterade det. Men en fråga på de då. Säg att det går direkt att få fram gränsvärdet utan L'Hospitals regel. Använder man då L'Hospitals regel får man då ett felaktigt svar? (Det verkar ju så här eller så har jag gjort fel på vägen) Och i så fall varför blir det så?

Kraven för L'Hospitals regel är inte uppfyllda, därför får du inte använda den. Det kommer inte ge rätt svar om du försöker använda den, slumpen kanske ger dig samma svar dock.

Svara

Visa senaste svar