Gränsvärdet

Hej! Känn igen bråket som $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ för $x=0$ för en viss funktion $f$...

Då ges gränsvärdet av derivatan av $f$ i punkten $x=0$, dvs, $\lim_{h\to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h}=f'(0)$.

Ska jag sätta in (x+h) istället för h och därefter förenkla och sätta gränsvärdet 0?

edit  ska det inte va

lim   (5^h -5^0 )/(h) 

h->0

hur går jag vidare?

Lisa14500 skrev:

Ska jag sätta in (x+h) istället för h och därefter förenkla och sätta gränsvärdet 0?

 

edit  ska det inte va

lim   (5^h -5^0 )/(h) 

h->0

hur går jag vidare?

Förstår inte riktigt din fråga. Men du verkar vara lite på rätt spår:

Du skriver $\frac{5^{h}-5^0}{h}$, och om vi skriver in $0$ även på första termen i täljaren får vi $\frac{5^{0+h}-5^{0}}{h}$, kan du se vilken funktion $f(x)$ som skulle kunna uppfylla $f(0+h)=5^{h}$ och $f(0)=1$? 

Den här uppgiften löser man direkt om man förstår detivatans definition! Rolig uppgift!

Moffen skrev:

Lisa14500 skrev:

Ska jag sätta in (x+h) istället för h och därefter förenkla och sätta gränsvärdet 0?

 

edit  ska det inte va

lim   (5^h -5^0 )/(h) 

h->0

hur går jag vidare?

Förstår inte riktigt din fråga. Men du verkar vara lite på rätt spår:

Du skriver $\frac{5^{h}-5^0}{h}$, och om vi skriver in $0$ även på första termen i täljaren får vi $\frac{5^{0+h}-5^{0}}{h}$, kan du se vilken funktion $f(x)$ som skulle kunna uppfylla $f(0+h)=5^{h}$ och $f(0)=1$? 

Derivatans definition f(x+h)-f(x)/h 

vi ser att f(x+h)= 5^h 

och f(x) = 5^0 

mer fattar jag inte

Lisa14500 skrev:

Moffen skrev:

Visa föregående citat

Lisa14500 skrev:

Ska jag sätta in (x+h) istället för h och därefter förenkla och sätta gränsvärdet 0?

 

edit  ska det inte va

lim   (5^h -5^0 )/(h) 

h->0

hur går jag vidare?

Förstår inte riktigt din fråga. Men du verkar vara lite på rätt spår:

Du skriver $\frac{5^{h}-5^0}{h}$, och om vi skriver in $0$ även på första termen i täljaren får vi $\frac{5^{0+h}-5^{0}}{h}$, kan du se vilken funktion $f(x)$ som skulle kunna uppfylla $f(0+h)=5^{h}$ och $f(0)=1$? 

Derivatans definition f(x+h)-f(x)/h 

vi ser att f(x+h)= 5^h 

och f(x) = 5^0 

mer fattar jag inte

Nästan. Är f(x)=5^0 =1 eller f(x)=5^x? 

f(x) borde ju vara 5^0=1? Jag förstår inte hur man kommer fram till att f(x)=5^x

Lisa14500 skrev:

f(x) borde ju vara 5^0=1? Jag förstår inte hur man kommer fram till att f(x)=5^x

Om $f(x)$ vore konstant skulle kvoten vara lika med 0, vilket vi kan se den inte är då den beror på $h$, eller hur?

Hur som helst så sa jag nästan svaret redan då jag skrev $f(h)=5^{h}$, byt bara variabel till $x$ så har du att $f(x)=5^{x}$. 

Det kan du se eftersom då gäller ju att $f(0+h)=5^{0+h}=5^{h}$ samt $f(0)=5^{0}=1$. Precis som din kvot $\frac{5^{h}-5^{0}}{h}=\frac{f(0+h)-f(0)}{h}$. Och med derivatans definition vet vi att 

$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ så i ditt fall har du att $f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{5^{h}-5^0}{h}$. Alltså kan du bara beräkna derivatan i punkten $x=0$ med deriveringsreglerna för att bestämma gränsvärdet.

ja. Fast jag måste ju kunna förenkla  5^h-1/h för annars blir kvoten odefinierad.

Så långt som att f(h)-f(0)/h är jag med på. Vad blir steget efter?

Lösn.1:
Sätt f(x) = 5^x; => lim(h->0) (5^h - 1)/h = lim(h->0) (5^h - 5^0)/h = f´(0);
f´(5^x) = f´(e^xln5) = ln5(e^xln5): => f´(0) = ln5;
Lösn.2: lim(h->0) (5^h - 1)/h = lim(h->0)( e^hln5 - 1)/h = (känt serieutveckling av e^x =
= = lim(h->0)((1 + hln5/1 + ((hln5)^2)/2! + .....) - 1)/h =
= lim(h->0)((hln5 + O(h^2))/h) = ln5.

Varför ska man i det här fallet använda sig av naturliga logaritmer?

Därför att det är enkelt att derivera och/eller serieutveckla e^x.

Om man skulle försöka med 10-logaritmer eller annan logaritmbas får

man väldeliga problem med t. ex. deriveringar.

Så långt lyckas jag komma fram till (förstå) 

Lim       ( e^(ln5)^h )-1)/h 

h->0 

hur kmr jag vidare?

Lisa14500 skrev:

ja. Fast jag måste ju kunna förenkla  5^h-1/h för annars blir kvoten odefinierad.

 

Så långt som att f(h)-f(0)/h är jag med på. Vad blir steget efter?

För det första måste du vara noga med parenteserna. "f(h)-f(0)/h" betyder $f(h)-\frac{f(0)}{h}$ vilket inte är det du menar, eller hur? Du måste ha parentes runt täljaren, dvs. (f(h)-f(0))/h betyder $\frac{f(h)-f(0)}{h}$.

Hur som helst, var det något som du inte förstod i förklaringen jag försökte ge? Hela poängen är ju då att du inte beräknar gränsvärdet $\lim_{h\to 0}\frac{5^{h}-1}{h}$ direkt, utan ser att det är derivatans definition för funktionen $f(x)=5^{x}$ i punkten $x=0$. 

Då får du direkt med deriveringsreglerna:

$f'(x)=\ln{\left(5\right)}\cdot 5^{x}$, så $\lim_{h\to 0}\frac{5^{h}-1}{h}=f'(0)=\ln{\left(5\right)}\cdot 5^{0}=\ln{5}$, vilket då är det sökta gränsvärdet.

Jag förstår inte. Ska man inte sätta lim h->0 för uttrycket   ( e^(ln5)^h )-1))/h ? Varför utgår du bara från uttrycket f(x)=5^x ?

Lisa14500 skrev:

Jag förstår inte. Ska man inte sätta lim h->0 för uttrycket   ( e^(ln5)^h )-1))/h ? Varför utgår du bara från uttrycket f(x)=5^x ?

Jag tycker du kan glömma den lösningen som Guuuben gav även om den är korrekt (och du skriver lite fel i ditt uttryck) då den bygger på serieutvecklingar av funktioner vilket inte tillhör matte 3 (det kommer först i universitetet).

Jag utgår från uttrycket $f(x)=5^x$ enligt mitt förra inlägg, vad specifikt är det du inte riktigt förstår? Vi använder att gränsvärdet kan tolkas som derivatan av en viss funktion i punkten $x=0$, nämligen för denna funktion $f(x)=5^x$.

Varför ska du derivera bara f(x)=5^x? Och sen utgå från att x=0? Varför ska x vara 0?

Meningen med den här uppgiften är att man skall tänka "Aha! det där ser nästan ut som derivatans definition i punkten där x=0, om jag väljer att sätta f(x) = 5x". Då kan man använda sig av derivatan för att beräkna gränsvärdet.

Att derivera f(x)=e^x är lätt, det blir f'(x)=e^x. Att derivera g(x)=e^kx är nästan lika lätt, det blir g'(x)=ke^kx. Om man vill derivera t ex h(x)=5^x är det enklaste sättet att skriva om det till e^ln5x så kan man använda formeln för e^kx.

Lisa14500 skrev:

Varför ska du derivera bara f(x)=5^x? Och sen utgå från att x=0? Varför ska x vara 0?

Är du med på dessa punkter?

• Derivatans definition (i en punkt säg $a$) $f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
• Att om $f(x)=5^x$ så gäller att $f(0+h)=5^{0+h}=5^h$ och $f(0)=5^0=1$.
• Att kvoten $\frac{5^{h}-1}{h}=\frac{f(0+h)-f(0)}{h}$ om $f(x)=5^{x}$.
• Att $f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}$.
• Att vi då kan skriva ditt sökta gränsvärde $\lim_{h\to 0}\frac{5^{h}-1}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=f'(0)$ för funktionen $f(x)=5^x$.

Är du med på alla punkter? Något som inte är tydligt?

Det som förvirrar mig är hur du kommer fram till att f(x)=5^x . Jag hänger bara med framtills din första punkt. Därefter blir det krångligt 

Lisa14500 skrev:

Det som förvirrar mig är hur du kommer fram till att f(x)=5^x . Jag hänger bara med framtills din första punkt. Därefter blir det krångligt 

Träning antagligen. Man ser uttrycket $\frac{5^{h}-1}{h}$ och försöker komma på vilken funktion $f$ som skulle kunna uppfylla $f(a+h)-f(a)=5^{h}-1$ i någon punkt $a$. Om vi väljer $a=0$ och $f(x)=5^{x}$ så uppfyller den funktionen villkoret. 

Varför sätter du a=0? Varför just 0? Vad har det med derivatans definition att göra?

Lisa14500 skrev:

Varför sätter du a=0? Varför just 0? Vad har det med derivatans definition att göra?

"Varför just 0?"

För den gör det vi vill ska bli gjort. Du skulle kunna välja $a$ till något annat, men då får du justera $f$. Exempelvis $a=1$ ger $f(x)=5^{x-1}$. Då får du beräkna derivatan i punkten $a=1$ istället.

"Vad har det med derivatans definition att göra?"

Kolla på min första punkt i mitt tidigare inlägg.

Tydligt?

Alltså, den här uppgiften är svår att förklara och svårt att man får "aha" känslan.

Men tanken med den här uppgiften enligt mig är att man ska utifrån uttrycket $\displaystyle \frac {5^{h}-1}{h}$ kunna lista ut vilken funktion det är och i vilken punkt man söker derivatan. 

Vi ser att termen $\displaystyle f(x+h)$ blir $\displaystyle 5^h$ och då kan man tänka typ "varför är det inte $\displaystyle 5^{x+h}$?. 

Sen kanske man går vidare till nästa term $f(x)$ som blir en $1$ och då kan man tänka typ "varför är det inte $\displaystyle 5^{x}$.

Precis där kanske man kommer på att funktionen måste vara $\displaystyle f(x)=5^{x}$ och det sökta gränsvärdet är i punkten $\displaystyle x=0$

Hoppas att det hjälper :)

Lisa14500 skrev:

Varför sätter du a=0? Varför just 0? Vad har det med derivatans definition att göra?

Frågan: Vad har det med derivatans definition att göra?

Vid första anblicken är detta inte självklart, men ska försöka klargöra.

Antag att vi ha funktionen $f\left(a\right) =\hspace{0.17em}{b}^a$- (Detta ska vara en exponentialfunktion). Derivatan till funktionen f(a) med derivatans definition uttrycks enligt följande.

$f\text{'}\left(a\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f\left(a\right)}{h} =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{b^{a+h}-b^a}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }{b}^a*\left(\frac{b^h-1}{h}\right)$- Notera faktorisering av $b^a$

alltså innebär det att

$f\text{'}\left(a\right) = \underset{h\to 0}{\lim }{b}^a*\left(\frac{b^h-1}{h}\right)$.

Frågan: Varför sätter du a=0?

Ersätter vi ovanstående uttryck med a=0 och b= 5 så erhålls,

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }{5}^0*\left(\frac{5^h-1}{h}\right)=\underset{h\to 0}{\lim }1*\left(\frac{5^h-1}{h}\right) =\underset{h\to 0}{\lim }\left(\frac{5^h-1}{h}\right) \\ alltså \\ f\text{'}\left(0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\left(\frac{5^h-1}{h}\right) \end{gathered}$$

Märk här att vänsterledet är identisk med uppgiftens uttrycket. Det som återstår är att bestämma $f\text{'}\left(0\right)$.

För att bestämma f'(0) så behöver vi bestämma $f\text{'}\left(a\right)$ och då behöver vi funktionen, som vi tidigare definierade, $f\left(a\right) = b^a$. Kom ihåg att vi satte b = 5 och vi gör detsamma för $f\left(a\right) = 5^a$.

Nu kan du derivera f(a).

Hoppas det klargjorde!

Tack så jättemycket för era förklaringar. Tror att jag börjat förstår varför man ska skriva 5^x=f(x) 

derivatan av f(x)= 5^x

blir 

f’(x)= x*5^(x-1)

(jag har däremot använt mig av variabeln h på pappret istället för x)

hur kommer jag vidare?

Lisa14500 skrev:

Tack så jättemycket för era förklaringar. Tror att jag börjat förstår varför man ska skriva 5^x=f(x) 

derivatan av f(x)= 5^x

blir 

f’(x)= x*5^(x-1)

(jag har däremot använt mig av variabeln h på pappret istället för x)

hur kommer jag vidare?

Nästan! 
Derivatan av $f(x)=5^{x}$ kan visas lätt om man vet att om $g(x)=e^{kx}$ så är derivatan $g'(x)=k\cdot e^{kx}$. Då får vi $f(x)=e^{\ln{5^{x}}}=e^{ln{(5)\cdot x}}$, så $f'(x)=\ln{(5)}\cdot5^{x}$. 

Nästa steg är helt enkelt att beräkna denna derivata i punkten $x=0$.

1. När ska man använda sig av basen e? Är det när exponenten är okänt? 

2. När du förenklar det vidare till f’(x)=ln (5)*5^x

varför ska man då beräkna f’(0)= ln (5)*5^0? Borde inte svaret vara f’(x)=ln (5)*5^x för det är ju själva derivatan? När ska man sätta x=0? Och varför?

Den största aha-grejen i den här uppgiften är att inse att a⁰ = 1 för alla värden på a, alltså att man kan skriva 1 som 5⁰. Om det hade stått 5^h-5⁰ i täljaren skulle uppgiften ha varit betydligt lättare, eller hur?

Ja men dessa frågor är det som förrvirrar jag

1. När ska man använda sig av basen e? Är det när exponenten är okänt? 

2. När du förenklar det vidare till f’(x)=ln (5)*5^x

varför ska man då beräkna f’(0)= ln (5)*5^0? Borde inte svaret vara f’(x)=ln (5)*5^x för det är ju själva derivatan? När ska man sätta x=0? Och varför?

Lisa14500 skrev:

Ja men dessa frågor är det som förrvirrar jag

1. När ska man använda sig av basen e? Är det när exponenten är okänt? 

 

2. När du förenklar det vidare till f’(x)=ln (5)*5^x

varför ska man då beräkna f’(0)= ln (5)*5^0? Borde inte svaret vara f’(x)=ln (5)*5^x för det är ju själva derivatan? När ska man sätta x=0? Och varför?

1. Det beror helt på frågan. I det här fallet använde vi basen $e$ eftersom vi ville härleda derivatan av $f(x)=5^x$ genom att vi visste derivatan av funktionen $g(x)=e^{kx}$.

2. Kolla på mina två sista punkter i listan jag gjorde tidigare. 

Tydligt?

Lisa14500 skrev:

Ja men dessa frågor är det som förrvirrar jag

1. När ska man använda sig av basen e? Är det när exponenten är okänt? 

 

2. När du förenklar det vidare till f’(x)=ln (5)*5^x

varför ska man då beräkna f’(0)= ln (5)*5^0? Borde inte svaret vara f’(x)=ln (5)*5^x för det är ju själva derivatan? När ska man sätta x=0? Och varför?

1. När ska man använda sig av basen e? Är det när exponenten är okänt? 

Är inte riktigt säker på din fråga. Om du kom ihåg från matematik 2 så kunde man med härleda derivatan av $y = a^x$. Det Moffen försöker säga är att det går med hjälp av basen e visar att derivatan till funktionen är $y\text{'}=a^x*\ln \left(a\right)$. (Om du vill ha en härledning av detta så är det bara att fråga)

2. När du förenklar det vidare till f’(x)=ln (5)*5^x

varför ska man då beräkna f’(0)= ln (5)*5^0? Borde inte svaret vara f’(x)=ln (5)*5^x för det är ju själva derivatan? När ska man sätta x=0? Och varför?

Om du tittar på inläggen tidigare så hade vi följande

$f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }{5}^x\frac{(5^h-1)}{h}$.

Eftersom vi vet att $f\text{'}\left(x\right) =5^x*\ln \left(5\right)$ så erhålls

$5^x*\ln \left(5\right) =\underset{h\to 0}{\lim }{5}^x\frac{(5^h-1)}{h}$ - Notera att jag bara ersatt f'(x). 

Om x = 0 då blir $f\text{'}\left(0\right) =\hspace{0.17em}{5}^0*\ln \left(5\right)$

$5^0*\ln \left(5\right) =\hspace{0.17em}\underset{h\to 0}{\lim }{5}^0\frac{(5^h-1)}{h}$- notera att 5^0 = 1

alltså

$f\text{'}\left(0\right) =1*\ln \left(5\right) =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(5^h-1)}{h}$ - Obs! högerledet är precis det uttryck som ska bestämmas och vänsterledet är gränsvärdet, dvs värdet hos derivatan av funktionen f, vid x = 0. Anledning till att vi ansätter x = 0 är att vi vill får till högerledet så att det liknar det uttryck som frågan, dvs $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{5^h-1}{h}$.

Hoppas det klargjorde!

Gäller sambandet 

(f(h+x)-f(x))/(h) = f’(0) alltid eller gäller det bara i den här uppgiften? 

Fölåt för att jag ställer så många frågor men det är följande punkt jag behöver ha mest förklaring över 

”Om x = 0 då blir .....”

Lisa14500 skrev:

Gäller sambandet 

(f(h+x)-f(x))/(h) = f’(0) alltid eller gäller det bara i den här uppgiften? 

Fölåt för att jag ställer så många frågor men det är följande punkt jag behöver ha mest förklaring över 

”Om x = 0 då blir .....”

Ingen fara!

(f(h+x)-f(x))/(h) = f’(0) alltid eller gäller det bara i den här uppgiften? 

Inte riktigt säker på din fråga, men derivatans definition enligt nedan gäller alltid

$f\text{'}\left(x\right) =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$ för alla värden på x om en funktion f är definierad där. 

Om vi exempelvis vill veta derivatan vid punkten x = 2 så kan vi skriva

$f\text{'}\left(2\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(2+h)-f\left(2\right)}{h}$- ersätter alla x i ekvationen med 2. 

I ditt fall så finns det intresse vid x = 0 

$f\text{'}\left(0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(0+h)-f\left(0\right)}{h}$

Så svar på din fråga så det enbart i detta fallet. 

”Om x = 0 då blir .....”

Om vi utgår från samma rad men väljer x = 3 exempelvis. Då får vi $f\text{'}\left(3\right) =5^3*\ln \left(5\right)$.

Tittar vi på derivatans definition i x = 3, med $f\left(x\right) = 5^x$ - (Funktion som vi antog)

$f\text{'}\left(3\right) =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(3+h)-f\left(3\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }{5}^3\frac{(5^h-1)}{h}$ - Notera att vänsterledet $f\text{'}\left(3\right)$ kan vi ersätta med $5^3*\ln \left(5\right)$ så att

$5^3*\ln \left(5\right) =\underset{h\to 0}{\lim }{5}^3\frac{(5^h-1)}{h}$.

Kollar vi i högerledet nu så är uttrycket inte alls lik $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{5^h-1}{h}$. Alltså behöver vi på något sätt få bort faktorn 5^3. Ett alternativt sätt är att dividera båda leden med 5^3 eller, som vi tidigare ha diskuterat, beräkna derivatan vid x = 0.

Hoppas det var svar på din fråga!

Så långt har jag lyckats förstå. Gärna om vi tillsammans kan lyckas komma fram till svaret. Jag gör mitt försök här iallafall. 

Derivatans defition lyder : $$\begin{gathered} \underset{h->0}{\lim }\frac{5^{x+h}-5^x}{h} \\ i det här fallet har vi \\ \underset{h->0}{\lim }\frac{5^x-5^0}{h} \\ utifrån det här kan man se att funktionen ska vara f\left(x\right)=5^x \\ mer än så förstår jag inte \end{gathered}$$

Nej, första termen i täljaren i det nedre limes-uttrycket skall vara 5^0+h. Vi har valt att beräkna derivatan i den punkt där x = 0 (för det är när x = 0 som 5^x = 1).

okej. 

Alltså 

$$\begin{gathered} \underset{h->0}{\lim }\frac{5^{0+h}-5^0}{h} \\ utifrån det här uttrycket kan man konstatera att \\ f(x+h) är x 0 för i uttrycket ovan står det 5^{0+h } där x=0 \\ i nästa steg är 5^x=5^0=1 \\ funktionen blir \\ \underset{h->0 }{\lim }\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h} \\ sen fattar jag inte \end{gathered}$$

Nu vet du vad funktionen är. Derivera som vanligt och räkna ut derivatan i x=0. Resultatet är svaret på ursprungliga uppgiften.

min lärare sa att man kan lösa det på ett annat sätt. 

Nämligen att utgå från funktionen f(x)=5^x 

och därefter derivera den funktionen. 

tillslut kommer man komma fram till uttycket

$$\begin{gathered} \underset{h->0}{\lim }{5}^x\times \left(\frac{5^h-1}{h}\right) \\ detta blir ungefär \\ {5}^x\times 1.61 \\ så svaret är att gränsvärdet blir ca 1.61. \\ Men däremot förstår jag inte hur man kan tolka det genom uttrycket \\ {5}^x\times 1.61 \end{gathered}$$

Lisa14500 skrev:

min lärare sa att man kan lösa det på ett annat sätt. 

Nämligen att utgå från funktionen f(x)=5^x 

och därefter derivera den funktionen. 

...

Nja, det är inte ett annat sätt utan just det sättet som, såvitt jag kan se, alla som svarat i denna tråd har givit dig.