Gränsvärdesregler för talföljder

Hej,

Jag har svårt att förstå vad du funderar över. Kan du ge ett exempel som vi kan diskutera?

Albiki skrev:

Hej,

Jag har svårt att förstå vad du funderar över. Kan du ge ett exempel som vi kan diskutera?

Ojdå, jag råkade glömma att skriva ett kritiskt ord till min fråga, jag redigerar min fråga

• Du har skrivit att den oändliga talföljden $\{x_k\}_{k=0}^{\infty}$ är lika med den ändliga listan av 7 tal 0,1,2,3,4,5,6. Menar du att $\infty$ är samma sak som 7 här?
• Du skriver att du vill ta limes $k \to 3$, när $k$ redan går mot $\infty$. Här verkar det som att du tror att $\infty = 3$?
• Sedan säger du att gränsvärdet till listan 0,1,2,3,4,5,6 är talet 3? 

Albiki skrev:

• Du har skrivit att den oändliga talföljden $\{x_k\}_{k=0}^{\infty}$ är lika med den ändliga listan av 7 tal 0,1,2,3,4,5,6. Menar du att $\infty$ är samma sak som 7 här?
• Du skriver att du vill ta limes $k \to 3$, när $k$ redan går mot $\infty$. Här verkar det som att du tror att $\infty = 3$?
• Sedan säger du att gränsvärdet till listan 0,1,2,3,4,5,6 är talet 3? 

Jag gör ett till försök i att redigera, jag har blandat ihop grejer

HaCurry skrev:

Albiki skrev:

• Du har skrivit att den oändliga talföljden $\{x_k\}_{k=0}^{\infty}$ är lika med den ändliga listan av 7 tal 0,1,2,3,4,5,6. Menar du att $\infty$ är samma sak som 7 här?
• Du skriver att du vill ta limes $k \to 3$, när $k$ redan går mot $\infty$. Här verkar det som att du tror att $\infty = 3$?
• Sedan säger du att gränsvärdet till listan 0,1,2,3,4,5,6 är talet 3? 

Jag gör ett till försök i att redigera, jag har blandat ihop grejer

Nej, du ska inte redigera ditt inlägg. Låt det vara och gör ett nytt försök här nedan istället.

HaCurry skrev:

Hej, i samtliga bevis jag har läst om gränsvärdes regler i Persson och Böiers så har jag inte hittat någon anledning till varför gränsvärdesreglerna (t.ex additionslagen, produktlagen och kvotlagen etc.) inte skulle kunna gälla för talföljder? Det enda problemet jag kan tänka mig är vid epsilon delta definitionen (  $\left|x-a\right|<\delta$ )  om man lägger till $0<\left|x-a\right|<\delta$, vilket vissa väljer att göra, för  när man har valt ett tillräckligt litet epsilon sådant att det enda elementet inom deltakorridoren uppfyller x - a = 0 alltså att x = a så kommer inte den andra epsilon delta definitionen fungera? 

Exempel: för en talföljd ${{\left\{x_k\right\}}^{\infty }}_{k=0} \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$, säg att jag vill ta limens av k -> 3 (som i det 4:e elementet, jag antar även i förhand att gränsvärdet då blir 3) om jag väljer epsilon till 0.5 så kan inte x i epsilon delta definitionen ovan vara annat än x_3 = 3, men då blir det ju $\left|3-3\right|=0$, vilket inte passar med den andra definitionen jag skrev?
Drar man då slutsatsen att gränsvärdesreglerna inte nödvändigtvis gäller för talföljder?

 

Tack i förhand, all hjälp uppskattas

Jag sparar ursprungliga inlägget för tydlighets skull.

Albiki skrev:

HaCurry skrev:

Hej, i samtliga bevis jag har läst om gränsvärdes regler i Persson och Böiers så har jag inte hittat någon anledning till varför gränsvärdesreglerna (t.ex additionslagen, produktlagen och kvotlagen etc.) inte skulle kunna gälla för talföljder? Det enda problemet jag kan tänka mig är vid epsilon delta definitionen (  $\left|x-a\right|<\delta$ )  om man lägger till $0<\left|x-a\right|<\delta$, vilket vissa väljer att göra, för  när man har valt ett tillräckligt litet epsilon sådant att det enda elementet inom deltakorridoren uppfyller x - a = 0 alltså att x = a så kommer inte den andra epsilon delta definitionen fungera? 

Exempel: för en talföljd ${{\left\{x_k\right\}}^{\infty }}_{k=0} \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$, säg att jag vill ta limens av k -> 3 (som i det 4:e elementet, jag antar även i förhand att gränsvärdet då blir 3) om jag väljer epsilon till 0.5 så kan inte x i epsilon delta definitionen ovan vara annat än x_3 = 3, men då blir det ju $\left|3-3\right|=0$, vilket inte passar med den andra definitionen jag skrev?
Drar man då slutsatsen att gränsvärdesreglerna inte nödvändigtvis gäller för talföljder?

 

Tack i förhand, all hjälp uppskattas

Jag sparar ursprungliga inlägget för tydlighets skull.

Aa okej, ber om ursäkt, jag förtydligar mitt tankesett i bokstäver så att jag inte förvirrar i matematisk formalia

Min poäng är att jag är osäker på om gränsvärdesregler fungerar för talföljder i och med att gränsvärdesreglerna är byggda på epsilon delta definitionen, speciellt den andra definitionen jag la till med utvidigningen 0 < ..., som jag vet min lärare använder men inte Persson och böiers. Min anledning till att jag blir osäker är att om jag tar gränsvärdet till något element i talföljden, när jag tar ett riktigt litet epsilon, så kommer det enda elementet i delta korridoren vara gränsvärdet själv ($\left|a-a\right|$), men utvidgningen av epsilon delta definitionen säger att absolutbeloppet aldrig får bli 0, så kan vi då med säkerhet använda gränsvärdesreglerna för talföljder?

Om du ska prata om gränsvärde för en talföljd så kan följden inte ha ändligt många element. 

Det är meningsfullt att prata om gränsvärde för följande talföljd:

    $x_k=k$ då $k\in\{0,6\}$ och $x_k=6$ då $k\geq 7$

skriver du ut den första delen av följden är den alltså

    0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, ... .

Denna talföljd har gränsvärdet $6$ och man skriver

    $\lim_{k\to\infty} x_k = 6.$

Med $\epsilon$-definitionen går det också bra.

1. Välj ett $\epsilon>0.$
2. Då går det att finna ett index $N_\epsilon$ så att $|x_k - 6| < \epsilon$ för alla index $k > N_\epsilon.$
3. Här är $N_\epsilon = 7$ eftersom för alla $k>7$ gäller det att $|x_k-6| = |6-6| = 0$ och detta är såklart mindre än $\epsilon$ eftersom $\epsilon$ ju var valt större än $0$.

Albiki skrev:

Om du ska prata om gränsvärde för en talföljd så kan följden inte ha ändligt många element. 

Det är meningsfullt att prata om gränsvärde för följande talföljd:

    $x_k=k$ då $k\in\{0,6\}$ och $x_k=6$ då $k\geq 7$

skriver du ut den första delen av följden är den alltså

    0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, ... .

Denna talföljd har gränsvärdet $6$ och man skriver

    $\lim_{k\to\infty} x_k = 6.$

Med $\epsilon$-definitionen går det också bra.

1. Välj ett $\epsilon>0.$
2. Då går det att finna ett index $N_\epsilon$ så att $|x_k - 6| < \epsilon$ för alla index $k > N_\epsilon.$
3. Här är $N_\epsilon = 7$ eftersom för alla $k>7$ gäller det att $|x_k-6| = |6-6| = 0$ och detta är såklart mindre än $\epsilon$ eftersom $\epsilon$ ju var valt större än $0$.

Aa okej, jag börjar inse att min fråga är lite problematisk, för varför skulle man vilja räkna ut gränsvärdet av ett element i en talföljd när man redan har en formel som beskriver varje element i en talföljd, det är ju med den man försöker räkna gränsvärdet, jag börjar cirkelresonera lite, tror att jag behöver ta en paus haha. Tack så mycket!

Albiki skrev:

Om du ska prata om gränsvärde för en talföljd så kan följden inte ha ändligt många element. 

Det är meningsfullt att prata om gränsvärde för följande talföljd:

    $x_k=k$ då $k\in\{0,6\}$ och $x_k=6$ då $k\geq 7$

skriver du ut den första delen av följden är den alltså

    0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, ... .

Denna talföljd har gränsvärdet $6$ och man skriver

    $\lim_{k\to\infty} x_k = 6.$

Med $\epsilon$-definitionen går det också bra.

1. Välj ett $\epsilon>0.$
2. Då går det att finna ett index $N_\epsilon$ så att $|x_k - 6| < \epsilon$ för alla index $k > N_\epsilon.$
3. Här är $N_\epsilon = 7$ eftersom för alla $k>7$ gäller det att $|x_k-6| = |6-6| = 0$ och detta är såklart mindre än $\epsilon$ eftersom $\epsilon$ ju var valt större än $0$.

Men kan man med säkerhet säga att gränsvärdesreglerna gäller för talföljder då?

Man kan räkna ut gränsvärdet när en följd går mot oändligheten, det kanske blir intressantare? Då har vi ju även för vanliga funktioner ett minsta tal istället för ett delta, och det borde gå att översätta direkt.

Micimacko skrev:

Man kan räkna ut gränsvärdet när en följd går mot oändligheten, det kanske blir intressantare? Då har vi ju även för vanliga funktioner ett minsta tal istället för ett delta, och det borde gå att översätta direkt.

Vilken fråga svarar du på Micimacko? är lite osäker på vad du menar, jag gissar att du pratar om gränsvärdesreglerna ?

HaCurry skrev:

Vilken fråga svarar du på Micimacko? är lite osäker på vad du menar, jag gissar att du pratar om gränsvärdesreglerna ?

På den högst upp, som den är skriven nu.

Hej Curry,

• Om talföljden $(x_n)$ har gränsvärdet $x$ och talföljden $(y_n)$ har gränsvärdet $y$ så undrar du om talföljden $(x_n+y_n)$ har gränsvärdet $x+y$?

Svaret är Ja och det motiveras av Triangelolikheten.

    $|(x_n+y_n)-(x+y)| \leq |x_n-x|+|y_n-y| < \epsilon$ om $n$ är tillräckligt stort.

• Om talföljden $(x_n)$ är begränsad (av talet $M$) och har gränsvärdet $x$ och talföljden $y_n$ har gränsvärdet $y$ så kommer talföljden $(x_ny_n)$ att har gränsvärdet $xy$. Även detta följer av Triangelolikheten.

    $|x_ny_n-xy| = |x_ny_n-x_ny+x_ny-xy| \leq |x_n|\cdot|y_n-y|+|y|\cdot|x_n-x| \leq M \cdot |y_n-y|+|y|\cdot|x_n-x| < \epsilon$

om $n$ är tillräckligt stort.