Gränsvärdesregler, additionslagen

Hej, i ett exempel vill man visa att båda serierna :$\sum _{k=2}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^k}{\sqrt{k}}$ och $\sum _{k=2}^{\infty }\ln \left(1+\frac{{\left(-1\right)}^k}{\sqrt{k}}\right)$ inte kan vara konvergenta, jag antar att de menar att en av serierna kan vara konvergenta men inte båda två samtidigt. Men jag förstår inte riktigt lösningen. Jag bifogar exemplet och beskriver det jag inte fattar.

Det verlar som att dom tar likheten $x-\ln (1+x)=\frac{1}{2}{x}^2+O\left(x^3\right)$, byter ut x mot $\frac{{\left(-1\right)}^k}{\sqrt{k}}$och sedan gör $\sum _{k=2}^{\infty }$ på höger- och vänsterled alltså $\sum _{k=2}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^k}{\sqrt{k}}+\ln \left(1+\frac{{\left(-1\right)}^k}{\sqrt{k}}\right)=\sum _{k=2}^{\infty }\frac{1}{2}{x}^2+O\left(x^3\right)$ , men i ekvationen (31) skriver dom vänsterledet annorlunda, de verkar använda additionslagen för gränsvärden, ($li{m}_{x\to \infty }f\left(x\right)+g\left(x\right) =li{m}_{x\to \infty }f\left(x\right) + li{m}_{x\to \infty }g\left(x\right)$) , men den är ju bara giltig om respektive gränsvärde av f(x) och g(x) är ett tal och inte oändligheten, hur kommer dom då fram till vänsterledet i (31)? Jag tror jag har missat något steg i lösningen..?

All hjälp uppskattas, tack i förhand!