Gränsvärdesproblem

En variant är att byta variabel 

t = 1/n

Dr. G skrev:

En variant är att byta variabel 

t = 1/n

Varför ersätter man 1/n med t?

Så att t går mot 0 och att du då kan använda kända gränsvärden. 

Dr. G skrev:

Så att t går mot 0 och att du då kan använda kända gränsvärden. 

Ja men t går ej mot 0, utan n går mot oändlighet. Jag är ej med på var du vill komma med kända gränsvärden.

Om n går mot oändligheten så går 1/n mot 0.

Dr. G skrev:

Om n går mot oändligheten så går 1/n mot 0.

Aa okej. Sen har vi n^2*sin(t)/3n+1

Ja, men byt ut t = 1/n (n = 1/t) överallt.

Dr. G skrev:

Ja, men byt ut t = 1/n (n = 1/t) överallt.

Jag förstår ej..

$n=1/t$

$n^2=1/t^2$

$\sin(1/n)=\sin(t)$

$3n=3/t$

$\frac{n^2\sin(1/n)}{3n+1}=?$

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}\implies \lim_{t\to?}$

D4NIEL skrev:

$n=1/t$

$n^2=1/t^2$

$\sin(1/n)=\sin(t)$

$3n=3/t$

$\frac{n^2\sin(1/n)}{3n+1}=?$

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}\implies \lim_{t\to?}$

Är det flera variabelbyte ? Känns ganska rörigt. Varför blev 1/n=t? Och varför blev n=1/t? Vilken ansats gjorde vi från början?

Det är ett variabelbyte, från $n$ till $t$. Ansatsen är $n=1/t$. Överallt där det står $n$ måste du byta ut det. Det får inte finnas kvar några $n$ i ditt uttryck. Att $n=1/t$ är samma sak som $t=1/n$. Det kan vi visa så här:

Om du har $t=1/n$ kan du multiplicera med n på båda sidor

$nt=1$

Sedan delar vi med $t$ på båda sidor

$n=1/t$

Är du med?

Din uppgift är att klura ut hur uttrycket ser ut i variabeln $t$ givet substitutionen $n=1/t$. Variabelsubstitution bör du har träffat på tidigare, t.ex. vid integraler.

D4NIEL skrev:

Det är ett variabelbyte, från $n$ till $t$. Ansatsen är $n=1/t$. Överallt där det står $n$ måste du byta ut det. Det får inte finnas kvar några $n$ i ditt uttryck. Att $n=1/t$ är samma sak som $t=1/n$. Det kan vi visa så här:

Om du har $t=1/n$ kan du multiplicera med n på båda sidor

$nt=1$

Sedan delar vi med $t$ på båda sidor

$n=1/t$

Är du med?

Din uppgift är att klura ut hur uttrycket ser ut i variabeln $t$ givet substitutionen $n=1/t$. Variabelsubstitution bör du har träffat på tidigare, t.ex. vid integraler.

Aa ok jag hänger med.  Jo det har jag gjort. Jag tänkte aldrig på att man kunde använde variabelsubstion för denna fråga. Men då har vi 1/t^2*sin(t)/(3/t+1)

Skriv då om uttrycket på formen

$\dfrac{\sin t}{t}\cdot f(t)$

där f(t) är ett bråk, vars gränsvärde du kan beräkna när t går mot 0. (och sin(t)/t går mot ...)

Dr. G skrev:

Skriv då om uttrycket på formen

$\dfrac{\sin t}{t}\cdot f(t)$

där f(t) är ett bråk, vars gränsvärde du kan beräkna när t går mot 0. (och sin(t)/t går mot ...)

Vadå gånger f(t) har vi ej bara denna sin(t)/t*1/t/(3/t+1)? hur kan t gå mot 0 när det handlar om t som går mot oändligheten?

Vi har använt substitutionen $t=1/n$. Testa att låta n bli större och större tal. Vad blir t då $n=10$ respektive $n= 100$ och $n= 10^5$. Vad händer med  $t$ när $n$ går mot oändligheten?

D4NIEL skrev:

Vi har använt substitutionen $t=1/n$. Testa att låta n bli större och större tal. Vad blir t då $n=10$ respektive $n= 100$ och $n= 10^5$. Vad händer med  $t$ när $n$ går mot oändligheten?

t går mot 0 för större värden på n

Alltså har du kommit fram till att

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n^2\sin(1/n)}{3n+1}$ korresponderar mot $\lim_{t\to 0}\left(\frac{\sin(t)}{t}\cdot\frac{1}{3+t}\right)$

D4NIEL skrev:

Alltså har du kommit fram till att

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n^2\sin(1/n)}{3n+1}$ korresponderar mot $\lim_{t\to 0}\left(\frac{\sin(t)}{t}\cdot\frac{1}{3+t}\right)$

Jag förstår ej var 1/3+t kommer ifrån?  Vill du visa den där steget?

Jag förenklade det uttryck du själv kom fram till i inlägg #15 i tråden. Testa och se om jag förenklade ditt uttryck korrekt!

D4NIEL skrev:

Jag förenklade det uttryck du själv kom fram till i inlägg #15 i tråden. Testa och se om jag förenklade ditt uttryck korrekt!

jag förenklade ingenting i inlägg #15. Så jag är ej med riktigt varför du tror 1/t förkortas bort med 1/t som är multiplicerat med 3 då vi har 3*1/t+1 och ej 3*1/t+1/t i nämnaren?

Men $\displaystyle \frac{1}{t}\cdot \frac{1}{\frac{3}{t} +1}=\frac{1}{3+t}$

D4NIEL skrev:

Men $\displaystyle \frac{1}{t}\cdot \frac{1}{\frac{3}{t} +1}=\frac{1}{3+t}$

Okej jag vet ej hur du får det till 1/3+t?

Det är bara vanlig bråkräkning.

$\displaystyle \frac{1}{t}\cdot \frac{1}{\frac{3}{t} +1}=\frac{1}{t(\frac{3}{t}+1)}=\frac{1}{(3+t)}$

D4NIEL skrev:

Det är bara vanlig bråkräkning.

$\displaystyle \frac{1}{t}\cdot \frac{1}{\frac{3}{t} +1}=\frac{1}{t(\frac{3}{t}+1)}=\frac{1}{(3+t)}$

Okej