Gränsvärdesdefinitionen

Jag ska med hjälp utav gränsvärdesdefinitionen visa att $\frac{1+x^2}{x^4}$ går mot noll då x går mot oändligheten. Och jag har börjat med att sätta in detta i gränsvärdesdefinitionen och får fram att

$\frac{1+x^2}{x^4}-0 < \varepsilon$ (VL här är ska vara inom absolutbelopp tecken)

men sedan fastnar jag, hur ska man få x ensam på en sida av olikheten när den är av högre grad i nämnaren?

Det är kanske enklare att dela upp i två termer.

$\frac{1 + x^{2}}{x^{4}}$ = $\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}}$ .

Och sedan visa att det går att hitta ett $δ$ sådant att x > $δ$ implicerar att

$\frac{1}{x^{4}} < \frac{ϵ}{2}$ och $\frac{1}{x^{2}} < \frac{ϵ}{2}$ .

Om det inte var tillåtet att dela upp i två termer så kan man göra som följer.

$\frac{1 + x^{2}}{x^{4}} < ϵ$ $\Leftrightarrow$

$1 + x^{2} < x^{4} ϵ$ $\Leftrightarrow$

$x^{4} - \frac{x^{2}}{ϵ} - \frac{1}{ϵ} > 0$ $\Leftrightarrow$

${(x^{2} - \frac{1}{2 ε})}^{2} - \frac{1}{4 ε^{2}} - \frac{1}{ε}$ >0 $\Leftrightarrow$

$|x^{2} - \frac{1}{2 ε}| > \frac{\sqrt{1 + 4 ε}}{2 ε}$ $\Leftrightarrow$

$x^{2} > \frac{1 + \sqrt{1 + 4 ϵ}}{2 ϵ}$ eller $x^{2} < \frac{1 - \sqrt{1 + 4 ϵ}}{2 ϵ}$ (där den senare olikheten är omöjlig att uppfylla eftersom HL< 0).

Således om vi väljer x > ${(\frac{1 + \sqrt{1 + 4 ε}}{2 ϵ})}^{1 / 2}$ så implicerar det att $\frac{1 + x^{2}}{x^{4}} < ϵ$ .

Hej, tack för hjälpen! Jag har dock en fråga, varför sätter du absolutbelopp runt $x^2-\frac{1}{2\varepsilon}$ mot slutet?

Om du har en olikhet av typen $y^{2} > a$ , där a är ett positivt tal, så är detta ekvivalent med olikheten $|y| > \sqrt{a}$ , vilket är ekvivalent med att y > $\sqrt{a}$ eller att y < - $\sqrt{a}$ .

Ja det är såklart, tack igen.

Svara

Visa senaste svar