Gränsvärdesdefinition som bevis för gränsvärde (envariabelsanalys)

Hej!

Om gränsvärdet $\lim_{x\to\infty}\frac{x+1}{x}$ existerar så är det lika med ett enda tal. Boken har visat att detta tal är 1. Du vill visa att detta tal är 2, vilket är omöjligt. 

Albiki

Hej!

Boken kunde ha varit tydligare med att visa att

    $\frac{x+1}{x}-1=1+\frac{1}{x}-1=\frac{1}{x}.$

Albiki

Albiki skrev :

Hej!

Om gränsvärdet $\lim_{x\to\infty}\frac{x+1}{x}$ existerar så är det lika med ett enda tal. Boken har visat att detta tal är 1. Du vill visa att detta tal är 2, vilket är omöjligt. 

Albiki

Hej!

Det jag undrar är varför mitt exempel inte duger. Tex om vi antar att vi inte hade sett bokens bevis före jag gjorde mitt bevis. Uppenbarligen är gränsvärdet inte 2 och då är det omöjligt att bevisa. Men jag ser inte skillnad på beviset för gränsvärdet 1 och för gränsvärdet 2. Jag kan ju inte säga att bokens bevis är fel för jag bevisade mitt först. Mitt bevis är ju uppenbarligen fel, men jag kan inte säga varför. Ska man hitta ett värde på ε som motbevisar att gränsvärdet är 2?

Du kanske missar det där med absolutbeloppet, för annars kan du visa att skilladen är mindre än noll eftersom uttrycket (x+1)/x-2 går mot -1, som ju naturligtvis är mindre än något litet epsilon, men beloppet är inte mindre.

Hej!

Anta att gränsvärdet existerar och att det är lika med talet $a$. Du vill bestämma detta tal. 

Du studerar $\frac{x+1}{x}-a = (1-a) + \frac{1}{x}.$

Med Triangelolikheten får du att avståndet $|\frac{x+1}{x}-a|$ är mindre än talet

    $|1-a| + \frac{1}{|x|}.$

Detta tal är mindre än $|1-a|+\epsilon$ om det positiva talet $x>\omega(\epsilon)$. Du ser att det finns bara en enda möjlighet för denna övre begränsning att kunna bli liten, och det är om $a=1$.

Albiki

Hej!

Det är viktigt att notera att den övre begränsningen $|1-a|+\epsilon$ ska kunna bli godtyckligt liten; för att detta ska vara möjligt måste $a=1$.

Albiki