6 svar
274 visningar
Stoffer 135 – Fd. Medlem
Postad: 28 jan 2018 12:33 Redigerad: 28 jan 2018 12:36

Gränsvärdesdefinition som bevis för gränsvärde (envariabelsanalys)

Hej!

I min litteratur om envariabelsanalys ges ett exempel i samband med definitionen av gränsvärde i fallet då x går mot oändligheten. Exemplet ses på bilden

Men om man vill försöka visa på samma sätt att gränsvärdet istället är 2 så får man ju att

|(x+1)/x - 2| < ε för alla positiva x, vilket är ekvivalent med

x > 1/(ε+1).

Uppenbarligen gör/tänker jag något fel, men jag kan inte komma på vad. Varför duger bokens exempel som bevis för gränsvärdet 1 men mitt exempel duger inte för gränsvärdet 2?

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 28 jan 2018 12:57

Hej!

Om gränsvärdet limxx+1x \lim_{x\to\infty}\frac{x+1}{x} existerar så är det lika med ett enda tal. Boken har visat att detta tal är 1. Du vill visa att detta tal är 2, vilket är omöjligt. 

Albiki

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 28 jan 2018 13:01

Hej!

Boken kunde ha varit tydligare med att visa att

    x+1x-1=1+1x-1=1x. \frac{x+1}{x}-1=1+\frac{1}{x}-1=\frac{1}{x}.

Albiki

Stoffer 135 – Fd. Medlem
Postad: 28 jan 2018 13:06
Albiki skrev :

Hej!

Om gränsvärdet limxx+1x \lim_{x\to\infty}\frac{x+1}{x} existerar så är det lika med ett enda tal. Boken har visat att detta tal är 1. Du vill visa att detta tal är 2, vilket är omöjligt. 

Albiki

Hej!

Det jag undrar är varför mitt exempel inte duger. Tex om vi antar att vi inte hade sett bokens bevis före jag gjorde mitt bevis. Uppenbarligen är gränsvärdet inte 2 och då är det omöjligt att bevisa. Men jag ser inte skillnad på beviset för gränsvärdet 1 och för gränsvärdet 2. Jag kan ju inte säga att bokens bevis är fel för jag bevisade mitt först. Mitt bevis är ju uppenbarligen fel, men jag kan inte säga varför. Ska man hitta ett värde på ε som motbevisar att gränsvärdet är 2?

PeBo 540
Postad: 28 jan 2018 13:10

Du kanske missar det där med absolutbeloppet, för annars kan du visa att skilladen är mindre än noll eftersom uttrycket (x+1)/x-2 går mot -1, som ju naturligtvis är mindre än något litet epsilon, men beloppet är inte mindre.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 28 jan 2018 13:23

Hej!

Anta att gränsvärdet existerar och att det är lika med talet a a . Du vill bestämma detta tal. 

Du studerar x+1x-a=(1-a)+1x. \frac{x+1}{x}-a = (1-a) + \frac{1}{x}.

Med Triangelolikheten får du att avståndet |x+1x-a| |\frac{x+1}{x}-a| är mindre än talet

    |1-a|+1|x|. |1-a| + \frac{1}{|x|}.

Detta tal är mindre än |1-a|+ϵ |1-a|+\epsilon om det positiva talet x>ω(ϵ) x>\omega(\epsilon) . Du ser att det finns bara en enda möjlighet för denna övre begränsning att kunna bli liten, och det är om a=1 a=1 .

Albiki

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 28 jan 2018 13:27

Hej!

Det är viktigt att notera att den övre begränsningen |1-a|+ϵ |1-a|+\epsilon ska kunna bli godtyckligt liten; för att detta ska vara möjligt måste a=1 a=1 .

Albiki

Svara
Close