Gränsvärdesberäkning i en generaliserad integral

Hej!

Jag håller på med en uppgift om generaliserade integraler och har kört fast. Jag skall beräkna om den generaliserade integralen $\int_{0}^{\infty} \frac{x \ln x}{{(1+x}^{2})^{2}} d x$ är konvergent eller divergent. Jag har fått fram att den primitiva funktionen är $\frac{- \ln (x)}{2 (x^{2} + 1)} + \frac{\ln |x|}{2} - \frac{\ln |x^{2} + 1|}{4}$ , vilket jag har skrivit om som $\frac{- \ln (x)}{2 (x^{2} + 1)} - \frac{\ln |\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}|}{4}$ .

Eftersom integralen är generaliserad i båda ändpunkter har jag delat upp problemet i fallen $\int_{0}^{1} \frac{x \ln x}{{(1+x}^{2})^{2}} d x$ och $\int_{1}^{\infty} \frac{x \ln x}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x$ .

Jag tror att båda fallen borde vara konvergent med tanke på hur grafen av funktionen ser ut och jag tror att jag har bevisat att det sista fallet är konvergent, men när jag analyserar det första fallet matematiskt får jag att den divergerar.

Jag har att $\int_{ε}^{1} \frac{x \ln x}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x = - \frac{\ln (2)}{4} - \lim_{ε \to 0} (\frac{- \ln (ε)}{2 (ε^{2} + 1)} + \frac{\ln (\frac{ε^{2}}{ε^{2} + 1})}{4})$ . Jag ser dock inte hur detta gränsvärde skulle kunna existera. $\lim_{ε \to 0} (\frac{\ln (\frac{ε^{2}}{ε^{2} + 1})}{4})$ och $\lim_{ε \to 0} (\frac{- \ln (ε)}{2 (ε^{2} + 1)})$ borde väl båda gå mot oändligheten? Finns det något sätt att skriva om dessa gränsvärden så att de skulle kunna existera, eller har jag gjort något fel i mina beräkningar?

Jag har inte granskat dina uträkningar, men jag fuskade genom att programmera gränsvärdet med båda termerna, och deras singulariteter tar tydligen ut varandra, för det blir ett ändligt gränsvärde.

För $x$ nära 0 beter väl sig funktionen som:

$x\ln x$ och

$\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0$

tomast80 skrev:
För $x$ nära 0 beter väl sig funktionen som:

$x\ln x$ och

$\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0$

Tack för svaret. Jag förstår att funktionen är lika med 0 då x går mot 0⁺, men ser inte riktigt hur jag skall koppla det till gränsvärdesundersökningen på ett vettigt sätt. Är det så att jag bara rakt av kan dra slutsatsen att $\lim_{ε \to 0^{+}} (\frac{- \ln (ε)}{2 (ε^{2} + 1)} + \frac{\ln (\frac{ε^{2}}{ε^{2} + 1})}{4}) = 0$ i beräkningen av integralen, eftersom funktionen är lika med 0 när x går mot 0⁺?

Du kan aldrig bara anta att ett gränsvärde blir/inte blir något när du har +oändlig -oändlig. Skriv om dem med samma nämnare så kan du stryka en del, och med standardgränsvärde x*lnx->0 då x->0 får du bort det som är kvar.

-2ln E + (E2+1)(ln E2/E2+1) = - 2lnE +(E2+1)(ln E +lnE-ln E2+1) = - 2lnE +2lnE - ln(E2+1) + E2(lnE2 - ln(E2+1))=-ln(E2+1) + E2lnE2 - E2ln(E2+1)--> ln1 +0 +0*ln1=0

Micimacko skrev:
Du kan aldrig bara anta att ett gränsvärde blir/inte blir något när du har +oändlig -oändlig. Skriv om dem med samma nämnare så kan du stryka en del, och med standardgränsvärde x*lnx->0 då x->0 får du bort det som är kvar.

-2ln E + (E2+1)(ln E2/E2+1) = - 2lnE +(E2+1)(ln E +lnE-ln E2+1) = - 2lnE +2lnE - ln(E2+1) + E2(lnE2 - ln(E2+1))=-ln(E2+1) + E2lnE2 - E2ln(E2+1)--> ln1 +0 +0*ln1=0

Nu förstår jag. Jag missade den omskrivningen. Tack för hjälpen!

Hej,

Om $x>1$ så kan du begränsa integranden uppåt enligt

$\displaystyle\frac{x\ln x}{(1+x^2)^2} \leq \frac{\ln x}{x^3} \leq \frac{x}{x^3} = \frac{1}{x^2}$

vilket visar att

$\displaystyle \int_1^{\infty} \frac{x\ln x}{(1+x^2)^2}\,dx <\infty$

Det återstår att studera integralen

$\displaystyle\int_{0}^1 \frac{x\ln x}{(1+x^2)^2}\,dx.$

Då $0<x<1$ är $x\ln x <x(1-x)$ vilket ger

$\displaystyle\frac{x\ln x}{(1+x^2)^2} \leq \frac{x(1-x)}{(1+x^2)^2}\leq \frac{x(1-x)}{1} = x(1-x)$

som visar

$\displaystyle\int_0^{1}\frac{x\ln x}{(1+x^2)^2}\,dx <\infty.$

Svara

Visa senaste svar