Gränsvärden och MacLaurin

Hej,

Jag vill beräkna gränsvärdet av $\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{ln(1+x)}{x}$ och jag är medveten om att denna blir noll, men när jag försöker beräkna detta mha MacLaurinutveckling på ln(1+x) så får jag inte det svaret. Hur kommer det sig?

Med MacLaurin blir det: $\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x-o(x^2)}{x}=\lim_{x \rightarrow \infty}1-x$ . Och detta kan väl omöjligen bli noll - vad är det som jag missar? Kan man inte alltid använda sig utav MacLaurinutvecklingar?

Notering: o ska stå för ordo.

Maclaurin-serien för ln(1+x) är inte konvergent för x > 1.

Tack! Bör det gränsvärde som jag skrev då betraktas som ett standardgränsvärde?

Vilket av ln x resp x växer snabbast?

rapidos skrev:
Vilket av ln x resp x växer snabbast?

Det är x som växer snabbast, är det ett tillräckligt resonemang för att konstatera att den går mot noll?

eftersom vi har $\dfrac{\infty}{\infty}$ kan man enkelt beräkna gränsvärdet mha L'Hospitals.

Dracaena skrev:
eftersom vi har $\dfrac{\infty}{\infty}$ kan man enkelt beräkna gränsvärdet mha L'Hospitals.

Tack jag märkte detta också, men vet inte om det är tillåtet för oss att använda den om liknande skulle komma på en tenta. Får kolla upp det! För den fungerade iallafall i detta fall.

För positivt x stort nog är ln (x+1) < sqr (x) (inses enklast genom att ta olikheten e^x> x² för x stort nog och spegla kring linjen y=x). Således har vi 0< ln(1+x)/x < (sqr (x))/x = 1/sqr (x) som går mot 0 när x går mot oändligheten.

Tomten skrev:
För positivt x stort nog är ln (x+1) < sqr (x) (inses enklast genom att ta olikheten e^x> x² för x stort nog och spegla kring linjen y=x). Således har vi 0< ln(1+x)/x < (sqr (x))/x = 1/sqr (x) som går mot 0 när x går mot oändligheten.

Tack!!

Svara

Visa senaste svar