Gränsvärden, oändligheten och minus oändligheten

Jag har lite svårt att förstå när det blir -oändligheten eller +oändligheten. Såhär tänker jag kring gränsvärdet längst ner (men hur jag tänker stämmer inte med svaret). Om x -> - $2^{-}$ då kommer x gå från vänstra sidan till -2 så då går x från -3 osv (jag tänker bara såhär nu) så x^2 kommer vara större än 4 och då borde väl nollan bli positiv? Fast jag tror det är fel, men jag har aldrig riktigt förstått hur man ska tänka gällande detta, så det vore snällt om någon kunde förklara.

Vi tittar på understa raden. Täljaren är ungefär 3, 3⁺ eller 3^– spelar ingen roll.

Nämnaren, prova med x = –2,1 för att se vart det bär hän. Det blir 4,41–4 = 0,41 dvs positivt.

Kvoten blir [3 / 0⁺] går mot + oändligheten.

Så om jag tänker rätt är även raden ovanför felaktig. De två översta raderna stämmer dock med mina bedömningar.

Jag vill börja med att påpeka att det skrivsättet du använder inte är vedertaget, och att 0⁺ eller 0^- inte betyder någonting egentligen. Men för våra ändamål med enkla gränsvärden kan vi införa dessa "tal".

Med våra nya "tal" skulle vi kunna införa två nya räkneregler också: $\frac{a}{0^{+}} = \infty, a > 0$ och $\frac{a}{0^{-}} = - \infty, a > 0$ . Viktigt att förtydliga är dock att $\frac{0^{+}}{0^{+}}$ eller något liknandnde INTE är definierat.

Det som du gör egentligen är ju att du vandrar längs grafen. Om vi analyserar nämnaren i ditt exempel kan vi se att det finns en lodrät asymptot vid $x = 2$ . Frågan blir då hur grafen kommer se ut vid den punkten. Det finns ett antal möjligheter:

Den går mot $\infty$ från både höger och vänster
Den går mot $- \infty$ från både höger och vänster
Den går mot antingen $\infty$ eller $- \infty$ beroende på vilket håll vi närmar oss från.

Tillägg: Du kan skriva om uttrycket med konjugatregeln till

y = (x+1)(x–1) / [(x+2)(x–2)]

Teckenschema. Alla faktorer är enkla, så vi byter tecken varje nollställe/singularitet. När x stort är alla faktorer positiva

x –2 –1 1 2

y + odef – 0 + 0 – odef +

Ytterligare ett argument. y(x) = y(–x) (jämn funktion), så om y går mot + oändl när x går mot 2⁺ så gör den det även när x går mot –2^–.

Låt f(x) vara uttrycket som du ska bestämma ev. gränsvärde på. Vi börjar med x går mot 2⁺ Det betyder att x ska närma sig 2 från höger, dvs från värden >2. För sådana värden kan du visa att f(x) >0. Då finns ingen möjlighet att f(x) kan gå mot -oändligheten. Om den går mot något måste det vara icke-negativt. På samma sätt visar du att f<0 för 1<x<2 (eftersom x ska närma sig 2 är det säkerställt att 1<x) f(x) kan då inte gå mot något positivt.

Jag får allergisk reaktion när jag ser uttryck typ "3/0" varhelst det dyker upp. Även "lim något = oändligheten" orsakar viss hjärtklappning. Skriv hellre "f(x) går mot oändligheten när x går mot 2+" använd dock pilar som jag inte har tillgång till här.

Varifrån kom uträkningarna i första bilden?

från en del av ett lösningsförslag

Svara

Visa senaste svar