Gränsvärden när x närmar sig oändligheten

Om ett gränsvärde går mot oändligheten kan vi undersöka vad som händer med varje term när x närmar sig oändligheten. Detta gör vi genom att dividera varje term med den variabel som har det högsta gradtalet, i detta fall $x=x^1$. Då får vi:

$\underset{x\to \infty }{\lim }\sqrt{\frac{16x}{4x+9}}=\underset{x\to \infty }{\lim }\sqrt{\frac{{\displaystyle \frac{16x}{x}}}{{\displaystyle \frac{4x}{x}}+{\displaystyle \frac{9}{x}}}}=\underset{x\to \infty }{\lim }\sqrt{\frac{16}{4}}$

Nian i nämnaren kommer att gå mot noll, när x närmar sig oändligheten. Därför kan vi (om vi tydligt skrivit att vi låter x gå mot oändligheten) stryka denna. Kommer du vidare då?

Okej, så för att lösa en sådan uppgift brukar man (eller jag iallafall) först tänka lite slarvigt att "strunta i rot tecknet till en början, den är lite skrämmande" Då har vi endast kvar$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{16x}{4x+9}$. Nu kan man börja tänka lite i banor av "vid stora x är ju 9 ganska obetydligt, om x=100000 exempelvis, då är ju 9 i nämnaren försumbar". Då har vi kvar $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{16x}{4x}$. Detta vet vi är 4, glöm bara inte att dra roten ur som vi valde att "tänka bort". Nu har vi en "strategi", talet borde bli 2, men hur kan vi visa det? Kan du visa mig hur man gör det matematiskt korrekt? Och ja, första metoden går bra (x förkortas!).

EDIT: Vill bara trycka lite mer på att detta är ett tillvägagångssätt till hur man kan tänka, detta är EJ en matematiskt korrekt lösning.

Ja, då blir svaret 2. 

Det var en väldigt klyftig metod, tror dock inte att jag skulle kunna komma på detta på egen hand, vilket kommer bli ett problem för mig. Men tack så mycket!

Moffen skrev:

Okej, så för att lösa en sådan uppgift brukar man (eller jag iallafall) först tänka lite slarvigt att "strunta i rot tecknet till en början, den är lite skrämmande" Då har vi endast kvar$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{16x}{4x+9}$. Nu kan man börja tänka lite i banor av "vid stora x är ju 9 ganska obetydligt, om x=100000 exempelvis, då är ju 9 i nämnaren försumbar". Då har vi kvar $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{16x}{4x}$. Detta vet vi är 4, glöm bara inte att dra roten ur som vi valde att "tänka bort". Nu har vi en "strategi", talet borde bli 2, men hur kan vi visa det? Kan du visa mig hur man gör det matematiskt korrekt? Och ja, första metoden går bra (x förkortas!).

 

EDIT: Vill bara trycka lite mer på att detta är ett tillvägagångssätt till hur man kan tänka, detta är EJ en matematiskt korrekt lösning.

 Tack, uppskattar alltid mer sätt att tänka kring problemet, jag letade mest efter en mer rigorös allmän metod som är väldigt lätt att sammanfatta i huvudet. Metoden som Smutstvätt gav var helt enkelt "förkorta bort alla x:en", vilket är en effektiv tredje metod som jag kan använda när dom andra två metoderna inte fungerar. 

Tack för att du visar dina tankegångar kring problemet dock! :)