Gränsvärden i R^4

Välkommen till Pluggakuten!

Prova att förlänga kvoterna, så att du får standardgränsvärden.

Uppgift 1:  Förläng med $|x|^2$ och tänk på derivatan av funktionen $f(r) = e^r$ beräknad för $r=0.$

Uppgift 2: Förläng med $|x|^2$ och tänk på standardgränsvärdet

    $\displaystyle \lim_{r\to0}\frac{\ln(1+r)}{r}.$

Tack!

Får tyvärr fortfarande inte rätt på det.

Till att börja med kan du visa att gränsvärdet är 1 om man stryker $x^2y+y^2z+z^2x$ i nämnaren. Sen ska du visa att $\frac{|x|^2}{|x|^2+x^2y+y^2z+z^2x}\rightarrow 1$ och det syns direkt om du övergår till polära och förkortar med $r^2$.

Uppgift 1. Notera följande resultat av förlängningen.

    $\displaystyle \frac{e^{|x|^2}-1}{|x|^2}\cdot\frac{|x|^2}{|x^2|+x^2y+y^2z+z^2x}=\frac{e^{|x|^2}-1}{|x|^2}\cdot\frac{1}{1+\frac{x^2y}{x^2+y^2+z^2}+\frac{y^2z}{x^2+y^2+z^2}+\frac{z^2x}{x^2+y^2+z^2}}.$

Notera också att $\frac{x^2y}{x^2+y^2+z^2}\to0$ när $x^2+y^2+z^2\to0$, så att

    $\displaystyle \frac{e^{|x|^2}-1}{|x|^2}\cdot\frac{|x|^2}{|x^2|+x^2y+y^2z+z^2x}\to 1\cdot 1$

när $x^2+y^2+z^2\to0$.

Uppgift 2. Notera att förlängningen ger följande resultat.

    $\displaystyle \frac{\ln(1+|x|^2)}{|x|^2}\cdot\frac{|x|^2}{|x|^2+\sin(xyz)} = \underbrace{\frac{\ln(1+|x|^2)}{|x|^2}}_{\to 1}\cdot\underbrace{\frac{1}{1+\frac{\sin(xyz)}{|x|^2}}}_{\to1}\ .$