Gränsvärden i flera variabler med begränsad definitionsmängd

Hej!

Hjälper det kanske om vi skriver om definitionsmängden som: 

$D_f=\left\{\right(x,y) :\hspace{0.17em}\left|y-x\right|<1 , x,y>0\} \iff D_f=\left\{\right(x,y) : -1+x<y<1+x, x,y>0\}$. 

Kan du rita upp den mängden i ${\mathrm{ℝ}}^2$?

Det första steget är att rita upp området:

Du kan tänka att villkoret $|y-x|<>$ betyder att punkterna högst får avvika $1$ i $y$-led från linjen $y=x$.

Härnäst kan du tänka dig vilka möjliga gränsvärden funktionen kan ge. De är:

• $-\infty$
• $\infty$
• $0$

Kan du utesluta något/några av dessa när du vet hur området ser ut?

AlvinB skrev:

Det första steget är att rita upp området:

Du kan tänka att villkoret $|y-x|<>$ betyder att punkterna högst får avvika $1$ i $y$-led från linjen $y=x$.

Härnäst kan du tänka dig vilka möjliga gränsvärden funktionen kan ge. De är:

• $-\infty$
• $\infty$
• $0$

Kan du utesluta något/några av dessa när du vet hur området ser ut?

 Ja, jag har ritat up området förut och min slutsats är att $xy(x+y-2)$ måste gå mot $\infty$ då $(x,y)\to \infty$ eftersom att $xy(x+y-2)$ endast växer då x och y blir större (alltså divergerar). Det jag dock inte förstår är varför detta inte också gäller då $D_f$ är hela ${\mathrm{ℝ}}^2$. Allstå ifall att $D_f={\mathrm{ℝ}}^2$ så kommer x>0 och y>0 då $(x,y)\to \infty$ ändå och $\left|y-x\right|<1$ kommer ändå gälla då $(x,y)\to \infty$ eftersom att x och y går mot oändligheten "lika snabbt" (jag vet inte om det jag säger låter begripligt men jag hoppas att du förstår vad jag menar). Allstå varför existerar ett gränsvärde i 'b' då men inte i 'a'?

Definitionsmängden i deluppgift B är sådan att x och y måste växa mot "oändligheten" tillsammans för att punkten (x,y) hela tiden ska befinna sig i definitionsmängden; i deluppgift A kunde du låta x och y växa mot "oändligheten" oberoende av varandra.

Som jag sa finns det tre möjligheter för funktionens gränsvärde:

• $-\infty$ - inträffar om $x$ och $y$ är negativa eller en av dem negativ och $x+y$ är positivt
• $0$ - inträffar om en eller båda av $x$ och $y$ är noll p.g.a. faktorn $xy$
• $\infty$ - inträffar om $x$ och $y$ är positiva eller en av dem negativ och $x+y$ är negativt

Om vi tar hela $\mathbb{R}^2$ kommer vi att ha alla dessa tre fall samtidigt eftersom vi både kan ha noll och alla möjliga tecken på $x$ och $y$ i vår definitionsmängd. Det andra området är dock mycket mer restriktivt. När funktionen går mot oändligheten måste $x$ och $y$ ha samma tecken ($x$ och $y$ är ju positiva i definitionsmängden) och de kan inte vara noll. Det utesluter det första och andra fallet, och alltså måste funktionen gå mot $\infty$ längs alla vägar i definitionsmängden.

EDIT: Inser nu att jag slarvade lite grann med när det blir plus eller minus oändligheten, men resonemanget är det samma.

Tack för alla era svar :)

Tror jag förstår det lite bättre nu.

AlvinB skrev:

Som jag sa finns det tre möjligheter för funktionens gränsvärde:

• $-\infty$ - inträffar om $x$ och $y$ är negativa eller en av dem negativ och $x+y$ är positivt
• $0$ - inträffar om en eller båda av $x$ och $y$ är noll p.g.a. faktorn $xy$
• $\infty$ - inträffar om $x$ och $y$ är positiva eller en av dem negativ och $x+y$ är negativt

Om vi tar hela ${\mathrm{ℝ}}^2$ kommer vi att ha alla dessa tre fall samtidigt eftersom vi både kan ha noll och alla möjliga tecken på $x$ och $y$ i vår definitionsmängd. Det andra området är dock mycket mer restriktivt. När funktionen går mot oändligheten måste $x$ och $y$ ha samma tecken ($x$ och $y$ är ju positiva i definitionsmängden) och de kan inte vara noll. Det utesluter det första och andra fallet, och alltså måste funktionen gå mot $\infty$ längs alla vägar i definitionsmängden.

EDIT: Inser nu att jag slarvade lite grann med när det blir plus eller minus oändligheten, men resonemanget är det samma.

 Utifrån din och Albiki's förklaring så känns det nästan som att jag missuppfattat multivariabelgränsvärden helt och hållet. Jag trodde alltid att $\left(x, y\right)\to \infty$ betydde att 'x' och 'y' måste gå mot oändligheten samtidigt. Alltså om x går mot oändligheten så måste y också gå mot oändligheten tillsammans med x. Men tydligen är det inte så.

Så som jag nu förstått det utifrån eran förklaring så kan  x och y gå åt olika håll. Alltså om $x\to +\infty$ då kan $y\to -\infty$ (dvs, $\left(x, y\right)\to \left(+\infty , -\infty \right)$) och om gränsvärdet antar olika värden då x och y går åt olika håll så existerar inte gränsvärdet. Har jag förstått detta rätt?

• 0 - inträffar om en eller båda av x och y är noll p.g.a. faktorn xy

Denna del förstår jag dock inte. Hur kan x eller y någonsin bli noll/gå mot noll om det är sagt att x och y går mot oändligheten?

Det kanske bara är jag som är helt dum i huvudet men rätta mig gärna och förklara :)

Att $(x,y)\rightarrow\infty$ betyder att $|(x,y)|\rightarrow\infty$. Detta är fallet även om det är $(x,y)=(x,0)$ som går mot oändligheten.

[...]

 Utifrån din och Albiki's förklaring så känns det nästan som att jag missuppfattat multivariabelgränsvärden helt och hållet. Jag trodde alltid att $\left(x, y\right)\to \infty$ betydde att 'x' och 'y' måste gå mot oändligheten samtidigt. Alltså om x går mot oändligheten så måste y också gå mot oändligheten tillsammans med x. Men tydligen är det inte så.

Så som jag nu förstått det utifrån eran förklaring så kan  x och y gå åt olika håll. Alltså om $x\to +\infty$ då kan $y\to -\infty$ (dvs, $\left(x, y\right)\to \left(+\infty , -\infty \right)$) och om gränsvärdet antar olika värden då x och y går åt olika håll så existerar inte gränsvärdet. Har jag förstått detta rätt?

Om du studerar definitionen av gränsvärde för funktioner av flera variabler så se du att den handlar om avstånd mellan vektorer.

    $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y) = v$,

där $v$ är en vektor, betyder att för varje avstånd $\epsilon > 0$ finns det ett motsvarande avstånd $\delta(\epsilon,(a,b))>0$ sådant att om avståndet mellan punkterna $(x,y)$ och $(a,b)$ är tillräckligt litet, $|(x,y)-(a,b)| <>$, så är avståndet mellan vektorerna $f(x,y)$ och $v$ litet $|f(x,y)-v| <>$.

Smaragdalena skrev:

Att $(x,y)\rightarrow\infty$ betyder att $|(x,y)|\rightarrow\infty$. Detta är fallet även om det är $(x,y)=(x,0)$ som går mot oändligheten.

 Precis. Vilket även kan uttryckas som att: $x^2+y^2 \to \infty$. Därför är det ofta användbart att införa polära koordinater för att studera dylika gränsvärden:

$x=r\cos \theta$

$y=r\sin \theta$