Gränsvärden, hur tänka?

Hej! Jag har fastnat lite på denna uppgift och ser inte vad som är fel..

$\lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{2 n})}^{n}$ .

Jag använde mig av $a^{b} = e^{b * \ln a}$ .

$\lim_{n \to \infty} e^{n * \ln (1 + \frac{1}{2 n})}$ och sedan ersätter jag n med infinity.

$e^{\infty * \ln (1 + \frac{1}{2 \infty})}$

Här tänker jag att $\frac{1}{2 \infty}$ -> 0 och därför borde min funktion se ut så här;

$e^{\infty * \ln (1 + 0)}$ , ln (1+0)=0. ett stort tal gånger ln(1) = 0. Så kvar har jag $e^{0}$ =1.

Facit säger att svaret är $\sqrt{e}$ , så vad har jag gjort fel?

I exponenten har du två faktorer där en går mot oändligheten och en går mot noll. Vad en sån produkt blir beror på hur snabbt respektive faktor går mot sitt gränsvärde. Du har räknat som att den högra faktorn är 0, vilket inte stämmer.

Jag skulle rekommendera att du tittar i din tabell över standardgränsvärden, och funderar på om det är något som liknar ditt uttryck. När du hittat det kan du försöka baka om ditt uttryck så att du kan använda standardgränsvärdet.

haraldfreij skrev:
Jag skulle rekommendera att du tittar i din tabell över standardgränsvärden, och funderar på om det är något som liknar ditt uttryck. När du hittat det kan du försöka baka om ditt uttryck så att du kan använda standardgränsvärdet.

Tack för dina svar, det visade sig att jag gjort fel även på de tidigare uppgifterna om liknande fall vilket gjorde mig förvirrad. Men nu tror jag att jag lyckades lösa den på ett sätt som är korrekt.

Säg gärna till om jag fortfarande inte lyckats göra rätt.

Det ser rimligt ut. Men jag hade istället utgått från standardgränsvärdet $lim_{n\rightarrow\inf}(1+\frac{1}{x})^x=e$ , och med $x=2n$ skrivit om $(1+\frac{1}{2n})^n=(1+\frac{1}{x})^{\frac{x}{2}}=\sqrt{(1+\frac{1}{x})^x}$

Svara

Visa senaste svar