Gränsvärden Flera variabler

Hej jag sitter med en gränsvärdesberäkning, har kommit en bit på vägen men har fastnat på slutet.

Jag ska beräkna gränsvärdet:

$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^{3} - x^{2} y}{x^{2} + y^{2} + x y}$

Jag använder polära koordinater och gör följande:

$\{\begin{cases} x = r \cos α \\ y = r \sin α \end{cases} (x, y) \to (0, 0) ~ r \to 0 \frac{x^{3} - x^{2} y}{x^{2} + y^{2} + x y} \to \frac{r^{3} \cos^{3} α - r^{3} \cos^{2} α \sin α}{r^{2} \cos^{2} α + r^{2} \sin^{2} α + r^{2} \cos α \sin α} = \frac{r^{3}}{r^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} α - \cos^{2} α \sin α}{1 + \frac{1}{2} \sin 2 α} r \cdot \frac{\cos^{3} α - \cos^{2} α \sin α}{1 + \frac{1}{2} \sin 2 α} d å r \to 0 b o r d e h e l a u t t r y c k e t g å m o t n o l l f ö r s ö k e r m e d e t t i n s t ä n g n i n g s a r g u m e n t 0 \leq |\begin{matrix} \frac{x^{3} - x^{2} y}{x^{2} + y^{2} + x y} \end{matrix}| = r \cdot \frac{|\cos^{3} α| - \cos^{2} α |\sin α|}{1 + \frac{1}{2} |\sin 2 α|}$

Jag tänker mig att cos och sin som är innanför absolutbeloppstecken är $\leq 1$ ,

men längre än så kommer jag inte.
på något vis ska man landa i 4r vilket går mot noll då r går mot noll men jag ser inte vägen dit.

All hjälp och tips uppskattas!
Tack!

Hej,

Täljaren kan skrivas $x^2(x-y)$ som i polära koordinater blir

$r^3 \cos^2 \alpha (\cos\alpha-\sin\alpha)$

och med en additionsformel skrivs $\cos\alpha-\sin\alpha = \sqrt{2} \sin(\pi/4-\alpha)$ vilket ger täljaren

$\sqrt{2} r^3 \cos^2 \alpha \sin(\pi/4-\alpha).$

Nämnaren blir $r^2+r^2\sin\alpha\cos\alpha$ som med en additionsformel kan skrivas

$r^2(1+0.5\sin 2\alpha).$

Notera att nämnaren aldrig blir mindre än $r^2\cdot\frac{1}{2}.$

Svara