Gränsvärden flera variabler

Hej! Jag funderar över vilka räta linjer jag kan välja när jag ska försöka bevisa att ett gränsvärde inte existerar. 

Exempel:

$\underset{(x,y)\to (1,\mathrm{\pi })}{\lim }\frac{\cos \left(xy\right)}{1-x-\cos y}$

Detta gränsvärde har ju en enkel lösning då man bara kan stoppa in 1 och π  och får ut svaret -1.

Om jag trots detta skulle försöka bevisa att gränsvärdet inte existerar så får jag ett konstigt svar, och jag undrar vad i min tankegång som går snett. 

Enligt den metod jag har lärt mig ska man "gå" längs olika linjer och bara sätta in det ena gränsvärdet:

Längs x-axeln, dvs y=0 förenklas uttrycket till:

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\cos \left(0\right)}{1-x-\cos \left(0\right)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{1-x-1}=-1$

Längs y-axeln, dvs x=0 förenklas uttrycket till: 

$\underset{y\to \mathrm{\pi }}{\lim }\frac{\cos \left(0\right)}{1-0-\cos y}=\underset{y\to \mathrm{\pi }}{\lim }\frac{1}{1-\cos y}=\frac{1}{1-(-1)}=1$

Det senaste skulle alltså motbevisa existensen av gränsvärdet och något är fel. Jag antar att det blir knasigt när jag väljer att gå längs y-axeln på något sätt men jag förstår inte riktigt varför/i vilka situationer jag kan göra det och inte? 

Stort tack på förhand!