Gränsvärden, avancerat

De bryter ut $x^3$ ur täljaren och $x^2$ ur nämnaren och får då att

• täljaren $4x^3-3x=x^3(4-\frac{3}{x^2})$
• nämnaren $2x^2-5=x^2(2-\frac{5}{x^2})$

Blev det tydligare då?

Yngve skrev:

De bryter ut $x^3$ ur täljaren och $x^2$ ur nämnaren och får då att

• täljaren $4x^3-3x=x^3(4-\frac{3}{x^2})$
• nämnaren $2x^2-5=x^2(2-\frac{5}{x^2})$

Blev det tydligare då?

Nej, varför blir det 3/x^2 och 5/x^2?

Och jag trodde att man inte fick bryta ut om man inte har en gemensam variabel i alla termer

Tillägg: 10 feb 2023 17:30

redigerat

Är du med på att du kan skriva $4x^3-3x$ som $x^3\cdot4-x^3\cdot\frac{3}{x^2}$?

Då har vi gjort $x^3$ till en gemensam faktor i de båda termerna.

Jaha jag fattar nu att det går att bryta ut x^3 från 4 till båda termer, men varför uppkommer 3/x^2 då?

''men om man gör detta måste man inte göra samma på nämnare då?''

ChristopherH skrev:

Jaha jag fattar nu att det går att bryta ut x^3 från 4 till båda termer, men varför uppkommer 3/x^2 då?

Vi tar det steg för steg. Vilket/vilka av följande påståenden är du inte.med på?

• Vi kan skriva $2$ som $\frac{8}{4}$, dvs som $\frac{2^3}{2^2}$.
• På samma sätt.kan vi skriva $x$ som $\frac{x^3}{x^3}$ (om $x\neq0$)
• Det betyder att vi kan skriva $3x$ som $3\cdot\frac{x^3}{x^2}$
• Det betyder att vi kan skriva $3x$ som $x^3\cdot\frac{3}{x^2}$
• Uttrycket $x^3\cdot\frac{3}{x^2}$ består alltså av de två faktorerna $x^3$ och $\frac{3}{x^2}$
• Om vi bryter ut faktorn $x^3$ så har vi kvar faktorn $\frac{3}{x^3}$
• Vi får då att $4x^3-3x=x^3\cdot4-x^3\cdot\frac{3}{x^2}=x^3\cdot(4-\frac{3}{x^2})$

''men om man gör detta måste man inte göra samma på nämnare då?''

Nej, det vi gör här är att vi faktoriserar (dvs bryter ut en gemensam faktor) täljare och nämnare var för sig. En faktorisering ändrar inte uttryckets värde, så vi kan faktorisera på olika sätt i täljare och nämnare utan att bråkets värde påverkas.

Det du tänker på ("samma i nämnaren") är om vi skulle förlänga bråket. I så fall skulle vi multiplicera både täljare och nämnare med samma faktor.

(Eller förkorta, då vi dividerar både täljare och nämnare med samma faktor.)

==========

Exempel på förlängning (förlänger med c): $\frac{a}{b}=\frac{c\cdot a}{c\cdot b}$

Exempel på förkortning (förkortar med c): $\frac{a}{b}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}$

Exempel på faktorisering (faktoriserar ut c i täljaren och d i nämnaren): $\frac{4c+ac}{2d+bd}=\frac{c(4+a)}{d(2+b)}$

======

Läs gärna detta avsnitt om förlängning och förkortning av rationella uttryck. Fråga oss om allt du behöver få förklarat närmare.

Läs gärna detta avsnitt om faktorisering. Fråga oss om allt du behöver få förklarat närmare.

Yngve skrev:

x^3/x^2 = x då, 3 gånger x^3/x^2 = 3x

men varför får vi bryta ut x^3, om 3x inte har x^3 i termen? Man måste ju ha samma på både täljare och nämnare för att bryta ut. 

Mitt resonemang: 

Vi får bryta ut x^3 från 3x eftersom när vi skriver om det som 3 x x^3/x^2

Så bryter vi ut x^3 ur bråket (men då måste den bytas ut med 1 och inte 3?) men eftersom den byts ut med 1 så gångras den med 3 och blir 3/x^2

Det är däremot konstigt för x^3(4-3/x^2) = 4x^3 - 3x^3/x^5? (3x^3/x^5 är ju inte = 3x?)

Regeln säger ju väl att x^3 x x^2 = x^3+2? och x^3/x^5 = x^5-3?

Du kan bryta ut vilken faktor du än önskar så länge du justerar termerna så att du kan multiplicera tillbaka in faktorn och få samma sak du hade från början.

$x^3·\frac{3}{x^2}=3x$

naytte skrev:

Du kan bryta ut vilken faktor du än önskar så länge du justerar termerna så att du kan multiplicera tillbaka in faktorn och få samma sak du hade från början.

$x^3·\frac{3}{x^2}=3x$

ja men x^3 x 3/x^2 = 3x^3/x^5, inte 3x

, nevermind det finns /1 under x^3, det blir 3x^3/x^2

nevermind det finns /1 under x^3, det blir 3x^3/x^2

Exakt, och om du förenklar det blir det $3x$ igen.

ChristopherH skrev:

ja men x^3 x 3/x^2 = 3x^3/x^5, inte 3x

Använd inte symbolen x för att beteckna multiplikation, då är risken stor att du/vi förväxlar den med den obekanta storheten x.

Använd istället symbolen * eller •.

, nevermind det finns /1 under x^3, det blir 3x^3/x^2

Ja. Är du då med på att $3x$ kan skrivas som $x^3\cdot\frac{3}{x^2}$?

Man måste ju ha samma på både täljare och nämnare för att bryta ut. 

Nej, det måste man inte. Du måste skilja på faktorisering (bryta ut) och förlängning/förkortning.

Vi tar bråket $\frac{4}{12}$ som exempel:

• Vi kan bryta ut olika faktorer I täljare och nämnare, t.ex. faktorn $2$ i täljaren och faktorn $3$ I nämnaren och vi får då $\frac{4}{12}=\frac{2\cdot2}{3\cdot4}$.
• Om vi vill förlänga bråket så måste vi multiplicera både täljare och nämnare med samma faktor, Om vi t.ex. vill förlänga bråket med faktorn $2$ så får vi $\frac{4}{12}=\frac{2\cdot4}{2\cdot12}=\frac{8}{24}$
• Om vi vill förkorta bråket så måste vi dividera både täljare och nämnare med samma tal. Om vi t.ex. vill förkorta bråket med $4$ så får vi $\frac{4}{12}=\frac{\frac{4}{4}}{\frac{12}{4}}=\frac{1}{3}$

Ser du skillnaden mellan faktorisering, förlängning och förkortning?

Om inte, läs avsnitten jag länkade till I svar #6 igen och fråga oss om allt du behöver få förklarat närmare.

Yngve skrev:

ChristopherH skrev:

ja men x^3 x 3/x^2 = 3x^3/x^5, inte 3x

Använd inte symbolen x för att beteckna multiplikation, då är risken stor att du/vi förväxlar den med den obekanta storheten x.

Använd istället symbolen * eller •.

, nevermind det finns /1 under x^3, det blir 3x^3/x^2

Ja. Är du då med på att $3x$ kan skrivas som $x^3\cdot\frac{3}{x^2}$?

Man måste ju ha samma på både täljare och nämnare för att bryta ut. 

Nej, det måste man inte. Du måste skilja på faktorisering (bryta ut) och förlängning/förkortning.

Vi tar bråket $\frac{4}{12}$ som exempel:

• Vi kan bryta ut olika faktorer I täljare och nämnare, t.ex. faktorn $2$ i täljaren och faktorn $3$ I nämnaren och vi får då $\frac{4}{12}=\frac{2\cdot2}{3\cdot4}$.
• Om vi vill förlänga bråket så måste vi multiplicera både täljare och nämnare med samma faktor, Om vi t.ex. vill förlänga bråket med faktorn $2$ så får vi $\frac{4}{12}=\frac{2\cdot4}{2\cdot12}=\frac{8}{24}$
• Om vi vill förkorta bråket så måste vi dividera både täljare och nämnare med samma tal. Om vi t.ex. vill förkorta bråket med $4$ så får vi $\frac{4}{12}=\frac{\frac{4}{4}}{\frac{12}{4}}=\frac{1}{3}$

Ser du skillnaden mellan faktorisering, förlängning och förkortning?

Om inte, läs avsnitten jag länkade till I svar #6 igen och fråga oss om allt du behöver få förklarat närmare.

Jag förstår! Tack så mycket för all din hjälp! Dunder bra