Gränsvärden

Hej, har följande uppgift att lösa;

$\lim_{x \to 0} \frac{lncos x}{e^{x} - 1 - x}$

Jag har använt mig av Maclaurin och kommit fram till detta;
$\frac{\ln (1 - \frac{x^{2}}{2} + θ x^{4})}{\frac{x^{2}}{2} + θ x^{3}}$

Det är här jag blir fundersam över hur jag ska göra med ln. Enligt lösningsförslaget är det bara borta, men jag förstår inte hur.

$\dfrac{\ln (\cos x)}{e^x-1-x}$ .

Först: $\cos x=1-\dfrac{x^2}{2}+\ldots$

Därefter sätts detta in in ML-utvecklingen : $\ln (1-\dfrac{x^2}{2}+\ldots)=-\dfrac{x^2}{2}+\ldots$ .

Insätt detta i ursprungligt bråk:

$\dfrac{-\dfrac{x^2}{2}+\ldots}{1+x+\dfrac{x^2}{2}+\ldots -1-x}$ .

Jag slarvar lite med resttermerna. Men du noterar att bråket går mot ett ändligt tal då $x\to 0$ .

Jag tror inte jag riktigt förstår ändå.
Om det står $\ln (1 - \frac{x^{2}}{2}) + . . .$ borde det inte då bli $\ln 1 - \ln \frac{x^{2}}{2}$ ?

Nej, missupfattning.

Titta t ex i din lärobok så finner du

$\ln ({\color{red}1+t})=\ldots$

Svara

Visa senaste svar