Gränsvärden

Hej!

Börja med att förenkla bråket och använd därefter l'Hospitals regel:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan {\displaystyle x}}{x}-1$.

Applicera nu l'Hospitals regel på $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x}{x}$ (eftersom vi har en $\frac{0}{0}$ situation) och beräkna sedan gränsvärdet.

Åh, perfekt! Jag var inne på det spåret, men var osäker på om man kunde göra så haha. Tack för hjälpen!! 

Om man inte vill använda l'Hôpitals regel går det även att göra med standardgränsvärden.

$\lim_{x\to0} \dfrac{\tan(x)-x}{x}=\lim_{x\to0}\left(\dfrac{\tan(x)}{x}\right)-1=\lim_{x\to0}\left(\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)\cdot x}\right)-1=\lim_{x\to0}\left(\dfrac{\sin(x)}{x}\cdot\dfrac{1}{\cos(x)}\right)-1$

Är dock lite förvirrad angående $\frac{0}{0}$, vilket även $\frac{\sin \left(0\right)}{0}$ blir om jag inte misstar mig helt. 

Du har missat att du behöver förlänga x med cos x/cos x innan du kan få ner cos x i nämnaren.

$\frac{\tan x-x}{x}=\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-x}{x}=\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-x\cdot\frac{\cos x}{\cos x}}{x}=\frac{\sin x-x\cdot\cos x}{x\cdot\cos x}$

Bellasofie skrev:

Är dock lite förvirrad angående $\frac{0}{0}$, vilket även $\frac{\sin \left(0\right)}{0}$ blir om jag inte misstar mig helt. 

Du har rätt, gränsvärdet

$\lim_{x\to0}\dfrac{\sin(x)}{x}=1$

är på formen $0/0$, men man brukar kalla detta för ett standardgränsvärde. Det finns nämligen vissa gränsvärden som är vanliga och ganska kluriga att bevisa och används ganska frekvent. Dessa kallas för standardgränsvärden och är gränsvärden man ofta bara bevisar en gång och sedan memorerar. Man får helt enkelt lägga på minnet att gränsvärdet ovan har värdet $1$.

Att utnyttja l'Hôpitals regel bygger ju på något liknande, nämligen att du tidigare har bevisat derivatorna av vissa funktioner (derivatorna är ju bara speciella gränsvärden). Det är dessutom så att många av dessa standardgränsvärden uppkommer när man skall bevisa derivatorna (så är fallet med detta gränsvärde), och för att undvika ett cirkelresonemang måste man därför veta dessa standardgränsvärden på annat sätt. Mer diskussion om detta finns här.

AlvinB skrev:

Bellasofie skrev:

Är dock lite förvirrad angående $\frac{0}{0}$, vilket även $\frac{\sin \left(0\right)}{0}$ blir om jag inte misstar mig helt. 

Du har rätt, gränsvärdet

$\lim_{x\to0}\dfrac{\sin(x)}{x}=1$

är på formen $0/0$, men man brukar kalla detta för ett standardgränsvärde. Det finns nämligen vissa gränsvärden som är vanliga och ganska kluriga att bevisa och används ganska frekvent. Dessa kallas för standardgränsvärden och är gränsvärden man ofta bara bevisar en gång och sedan memorerar. Man får helt enkelt lägga på minnet att gränsvärdet ovan har värdet $1$.

Att utnyttja l'Hôpitals regel bygger ju på något liknande, nämligen att du tidigare har bevisat derivatorna av vissa funktioner (derivatorna är ju bara speciella gränsvärden). Det är dessutom så att många av dessa standardgränsvärden uppkommer när man skall bevisa derivatorna (så är fallet med detta gränsvärde), och för att undvika ett cirkelresonemang måste man därför veta dessa standardgränsvärden på annat sätt. Mer diskussion om detta finns här.

Just ja!! Vi har pratat om sin (t)/t vilket är exakt samma sak ju.. haha därför man inte bör plugga på kvällen....

Smaragdalena skrev:

Du har missat att du behöver förlänga x med cos x/cos x innan du kan få ner cos x i nämnaren.

$\frac{\tan x-x}{x}=\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-x}{x}=\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-x\cdot\frac{\cos x}{\cos x}}{x}=\frac{\sin x-x\cdot\cos x}{x\cdot\cos x}$

Förlåt, jag är jättetrött i huvudet. Förstår vad det är jag håller på med överlag, men kan inte hänga med på varför jag behöver förlänga med just cosx/cosx i täljaren

Bellasofie skrev:

Smaragdalena skrev:

Du har missat att du behöver förlänga x med cos x/cos x innan du kan få ner cos x i nämnaren.

$\frac{\tan x-x}{x}=\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-x}{x}=\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-x\cdot\frac{\cos x}{\cos x}}{x}=\frac{\sin x-x\cdot\cos x}{x\cdot\cos x}$

Förlåt, jag är jättetrött i huvudet. Förstår vad det är jag håller på med överlag, men kan inte hänga med på varför jag behöver förlänga med just cosx/cosx i täljaren

För att kunna dela HELA täljaren med cos x så att det hamnar i nämnaren. Alternativt kan du skriva om $\frac{\tan x-x}{x}$ till $\frac{\tan x}{x}-1$ innan du skriver om tan x till sin x/cos x som Moffen och AlvinB föreslagit.

Smaragdalena skrev:

Bellasofie skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

Du har missat att du behöver förlänga x med cos x/cos x innan du kan få ner cos x i nämnaren.

$\frac{\tan x-x}{x}=\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-x}{x}=\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-x\cdot\frac{\cos x}{\cos x}}{x}=\frac{\sin x-x\cdot\cos x}{x\cdot\cos x}$

Förlåt, jag är jättetrött i huvudet. Förstår vad det är jag håller på med överlag, men kan inte hänga med på varför jag behöver förlänga med just cosx/cosx i täljaren

För att kunna dela HELA täljaren med cos x så att det hamnar i nämnaren. Alternativt kan du skriva om $\frac{\tan x-x}{x}$ till $\frac{\tan x}{x}-1$ innan du skriver om tan x till sin x/cos x som Moffen och AlvinB föreslagit.

Perfekt, NU är jag med till 100 där!