Gränsvärden

Om du sätter in $x=0$ i uttrycket blir det $\frac{0}{0}$ och du kan aldrig dividera med noll.

(Likväl som du sätter in $x=0$ i $cos(x)$ så får du inte noll, och då fungerar det alldeles utmärkt att sätta in.

(och $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{sin(x)}{x}$ är ett ett standardgränsvärde.)

Men om det nu blir $\frac{0}{0}=0$ så varför accepteras det ej då samma räknesätt tillåtes vid nästa faktor? Det du skriver förstår jag men att man inte behöver derivera (l'Hôpital) på den andra men måste på första förvirrar mig. Som sagt vet jag hur jag ska göra men tycker det är mest en "det bara är så"-räknesätt. Jag behöver bevis för det.

Fast, $\frac{0}{0}$ är ju inte noll, det är obestämt. Du kan inte dividera med noll, då får du inte tillbaka ett tal. 

dessutom så används $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{cos(x)}=\frac{1}{cos(0)}=\frac{1}{1}=1$.

woozah skrev:

dessutom så används $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{cos(x)}=\frac{1}{cos(0)}=\frac{1}{1}=1$.

 Men här sätter du direkt in värdet i uttrycket. Vilket du inte gör i $\frac{\sin \left(x\right)}{x}$. Men när du säger att den inte direkt är $0$ utan obestämd/odefinierad känns bättre för mig. Men om det hade stått $\frac{0}{1}$? Hade det varit samma sak?

Plugghingsten skrev:

woozah skrev:

dessutom så används $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{cos(x)}=\frac{1}{cos(0)}=\frac{1}{1}=1$.

 Men här sätter du direkt in värdet i uttrycket. Vilket du inte gör i $\frac{\sin \left(x\right)}{x}$. Men när du säger att den inte direkt är $0$ utan obestämd/odefinierad känns bättre för mig. Men om det hade stått $\frac{0}{1}$? Hade det varit samma sak?

Om ett uttryck är definierat för $x=0$ så är det bara sätta in det, om det däremot blir ett problem (som division med noll) så kan du inte bara sätta in, eftersom division med noll är obestämt.

Finns det finns också ett annat knep att använda här:

$A=\lim_{x\to 0} \frac{1}{3}\cdot \frac{\tan x}{x}=$

$\frac{1}{3}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\tan0}{x-0}$

Utifrån derivatans definition får vi då med $f(x)=\tan x$ att:

$A=\frac{1}{3}\cdot f'(0)$

$f'(x)=\frac{1}{\cos^2x}\Rightarrow f'(0)=\frac{1}{\cos^20}=1$

Slutligen fås då det efterfrågade gränsvärdet:

$A=\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}$

l'Hôpitals regel fungerar bara om det blir 0 i både täljare i nämnare. Och det är ju bara då den behövs. 

Laguna skrev:

l'Hôpitals regel fungerar bara om det blir 0 i både täljare i nämnare. Och det är ju bara då den behövs. 

Fungerar också om du har formen $\frac{\infty }{\infty }$

Sant. 

tomast80 skrev:

Finns det finns också ett annat knep att använda här:

$A=\lim_{x\to 0} \frac{1}{3}\cdot \frac{\tan x}{x}=$

$\frac{1}{3}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\tan0}{x-0}$

Utifrån derivatans definition får vi då med $f(x)=\tan x$ att:

$A=\frac{1}{3}\cdot f'(0)$

$f'(x)=\frac{1}{\cos^2x}\Rightarrow f'(0)=\frac{1}{\cos^20}=1$

Slutligen fås då det efterfrågade gränsvärdet:

$A=\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}$

 Snygg lösning. 

Tack, Albiki! 😊