Gränsvärden

Maddefoppa skrev:

Hej! Jag undrar lite gällande gränsvärden ex funktionen

f(x)=x³-3x²+2x/(x-2) 

Glöm ej parenteser runt täljaren. 

Är ju odeffinerad för x=2 då det ger divition med noll enligt..

f(2)= 2³-3•2²+2•2/(2-2)=0/0

Fråga 1: men om man studerar grafen ser man ju att ändå vid x=2 antas y=2. Förstår inte riktigt kopplingen här? Om det är odeffinerad hur man den anta värdet?

 

Kolla noggrannare på grafen. I x=2 är det cirkel som inte är ifylld. Det betyder att funktionen aldrig antar det värdet. 

Fråga 2: Om man vill faktorisera f(x) kan det skrivas som i nämnare:

x³-3x²+2x = x(x² − 3x + 2)

=x(x-1)(x-2) & täljare (x-2)

Vilket ger… x(x-1) om man förenklar. 
men i min bok står det att det INTE går att göra då x=2 men förstår inte riktigt varför:(

Då x=2 så är x-2=0. Det går inte att dividera med 0, vilket man gör när man förenklar här. 

Du verkar mena (x³-3x²+2x)/(x-2).

Det du skrev utan parenteser i täljaren är något helt annat.

Laguna skrev:

Du verkar mena (x³-3x²+2x)/(x-2).

Det du skrev utan parenteser i täljaren är något helt annat.

Redan påpekat;)

Konstigt för i min bok står det….

Om man skulle sammanfatta metoden för hur man ska studera en funktions gränsvärde för en funktion f då f har ett intervall som är odeffinerad skulle man då kunna säga att.. 

☆Metod gränsvärden då f(x) har intervall som är odeffinerat.

Steg: 1 faktorisering om det går

Undersöka vilka för vilka x som f(x) är ODEFINIERAD. (Deffintionmängden för f(x)

Steg 2: Beteckna gränsvärdet L

x→a(odefinierade värde) 
lim(x→a) f(a)

x= sätts in i faktorisera uttrycket & beräknas

Lite frågor gällande en annan funktion

då f(x)= sin(x)/x

Här är den ju i ingen cirkel som inte är i fylld och förstår inte riktigt hur man ska tänka då:)

samt vad man menar när man skriver:

Df) är ℝ\{0}

För sin(x)/x tänker jag..

f(x)=sin(x)/x 

f(0)= sin(0)/(0)=0/0=0 

Division➗ med 0❌
Grafen 📉 då x=0 närmar sig y=1 då x närmar sig 0. (Både vänster← & höger→)

Obs! dock att sin(x) fortfarande INTE definierat x då x=0. 
men föstår inte hur de får de till y=1 då sin(0)= 0

Det finns ingen cirkel där, men det borde göra det. Är det du som har skrivit "odefinierad" eller stod det redan där?

För limes x->0 av sin(x)/x kan man använda dess Taylor-serie så att täljaren blir x-x³/3!+x⁵/5!-.... Då ser man att limes x->0 för sin(x)/x blir just 1.

Man kan också se det som derivatans definition för sin(x) när x = 0, dvs. det har värdet cos(0).

Hur menar ni? Vi har inte kommit in på derivata ännu;(

Kan man säga att metoden jag skrev ovan fungerar då f(x) är en funktion som icke har deffinerade värden på x?

Har läst lite om gränsvärden nu då f(x) går mot oändligheten & har lite frågor…gällande metod för att studera en funktion f(x)

Metodvis för att studera en generell funktion & dess gränsvärde fungerar det att..

Steg 1: Studera om f(x) definitionsmängd är begränsad (dvs finns det x- värden då f(x) är odefinierad.

Steg 2: Om NEJ på steg 1 studera f(x) när x→∞ & x→-∞. Om JA på steg 1 använder en metod som jag tidigare skrev. 

Steg 3: Då sätta in x värden på f(x) & se vad y- värdet närmar sig/när y börjar STANNA av. Skriva om f(x) så det är lättare att avgöra gränsvärdet alternativt en värdetabell.

Inte derivata? På universitetet?

Laguna skrev:

Inte derivata? På universitetet?

Finns grundläggande mattekurser även där. 

mrpotatohead skrev:

Laguna skrev:

Inte derivata? På universitetet?

Finns grundläggande mattekurser även där. 

OK. Jag trodde man kunde förutsätta att all gymnasiematte var känd i så fall. Bra att veta när man försöker hjälpa till.

Laguna skrev:

mrpotatohead skrev:

Visa föregående citat

Laguna skrev:

Inte derivata? På universitetet?

Finns grundläggande mattekurser även där. 

OK. Jag trodde man kunde förutsätta att all gymnasiematte var känd i så fall. Bra att veta när man försöker hjälpa till.

Alla läser inte heller Matte3 på gymnasiet där derivata introduceras. 

Vi ska hålla på med derivata längre fram men inte just nu. :)

Maddefoppa skrev:

Vi ska hålla på med derivata längre fram men inte just nu. :)

Men visst läste du Matte 3 (inklusive derivata) för ett par år sedan?

Självklart glömmer man bort saker eller kanske du vill lösa uppgifter med de metoder som ingår i din nuvarande kurs?

Vilken kurs läser du nu förresten, och på vilken skola?

Man kanske kan bevisa det med ren geometri, eller också får man acceptera det som ett känt standardgränsvärde.

Skulle säga att du bör känna till standardgränsvärdena, som Laguna också påpekade. Om något känns orimligt kan du ju kolla upp dess bevis.

Beviset för just sin(x)/x då x går mot 0, bygger bara på enhetscirkeln och regler kring gränsvärden, ingen derivata.

Jag läser förebereade matematik kurs på stockholms universitet. Har precid börjat nu med derivata. Men förstår inte riktigt fortfarande hur sin(x) /x funktionen blir. Om man skriver om det borde man kunna får… 

sin(x)• 1/x^1.

produkregeln: f’(x)=cos(x)• 1/X¹+sin(x)•1/x² skulle väl isånafall ge derivatan?

Tanken med att använda derivatadefinitionen till att förklara varför gränsvärdet blir 1 är följande:

Definitionen av derivatans värde vid $x=a$ är $f'(a)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Om vi nu sätter $a=0$ så får vi att

$f'(0)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}$

Om $f(x)=sin(x)$ så är $f'(x)=cos(x)$, vilket ger oss

$\cos(0)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin(0+h)-\sin(0)}{h}$

Eftersom $\cos(0)=1$ och $\sin(0)=0$ får vi

$1=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin(h)}{h}$

Yngve skrev:

Tanken med att använda derivatadefinitionen till att förklara varför gränsvärdet blir 1 är följande:

Definitionen av derivatans värde vid $x=a$ är $f'(a)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Om vi nu sätter $a=0$ så får vi att

$f'(0)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}$

Om $f(x)=sin(x)$ så är $f'(x)=cos(x)$, vilket ger oss

$\cos(0)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin(0+h)-\sin(0)}{h}$

Eftersom $\cos(0)=1$ och $\sin(0)=0$ får vi

$1=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin(h)}{h}$

Det var snyggt och lätt. Jag har bara bevisat det med enhetscirkeln och instängningssatsen:)