Gränsvärden

Vi har kravet att bägge ska närma sig noll, men samtidigt ser vi att vi får en division med noll då. Så grafen är diskontinuerlig i punkten (0,0)
Vi kan låta x och y gå mot noll från höger och se vad som händer och därefter från vänster.
Ett tips kan väl vara att låta x och y ha samma värde t.ex. 0,0001.

Kanske $y=kx^2$ i detta fall med $k$ som fri parameter?

tomast80 skrev:

Kanske $y=kx^2$ i detta fall med $k$ som fri parameter?

Bra tänkt!

Det blir grafer som alla får en liknande form, men alla går igenom origo.

ConnyN skrev:

tomast80 skrev:

Kanske $y=kx^2$ i detta fall med $k$ som fri parameter?

Bra tänkt!

Det blir grafer som alla får en liknande form, men alla går igenom origo.

Ja, och man ser att gränsvärdet varierar beroende på $k$.

tomast80 skrev:

Kanske $y=kx^2$ i detta fall med $k$ som fri parameter?

Fint, får jag välja vilka y som helst? Har inte förstått det riktigt 

Du får välja vilket y(x) som helst.

(x,y) är en punktmängd i planet. Vi ska undersöka gränsvärdet för det givna uttrycket uttrycket när (x,y) går mot origo. Det innebär att (x,y) ska gå mot origo "i norm" och med norm menas (om inget annat anges) avståndet mellan (x,y) och origo dvs sqr(x² +y² ). Gränsvärdet (om det existerar) ska vara helt oberoende av vägen in till origo. Det är ett ganska tufft krav. Det räcker inte med att ta enstaka vägar. Alla vägar som uppfyller kravet att sqr(x² +y² ) går mot (0,0) måste beaktas. Man kan jämföra med situationen att en divergent följd kan ha konvergenta delföljder.

Smaragdalena skrev:

Du får välja vilket y(x) som helst.

Finns det något jag ska tänka på när jag väljer vilket y(x) eller brukar man köra y(x)=x och sen y(x)=x^2?

Tomten skrev:

Alla vägar som uppfyller kravet att sqr(x² +y² ) går mot (0,0) måste beaktas.

Hur vet jag vilka vägar som uppfyller det kravet?

Antalet sådana vägar är oändligt. Metoden att välja vägar bevisar inget om gränsvärdets existens. Däremot kan du, om du VET att gränsvärdet existerar (det kan t ex vara givet i uppgiften), se vilket värde det är och då räcker det å andra sidan med att välja en enda väg som uppfyller villkoret.

Testa vägen x=y och vägen x=y^2 Vad får du för resultat? Vilka slutsatser drar du?

Tomten skrev:

Testa vägen x=y och vägen x=y^2 Vad får du för resultat? Vilka slutsatser drar du?

Eftersom jag får två olika gränsvärden drar jag slutsatsen att det inte existerar. Ska jag alltid testa y=x och y=x² eller vad är tänket på vilka funktioner av x jag väljer?

Jag är rädd att jag tänkte fel. Kan du visa mig dina beräkningar?

Tomten skrev:

Jag är rädd att jag tänkte fel. Kan du visa mig dina beräkningar?

Då $y=x$, $\lim_{x \to 0} \frac{2x^2x}{x^4+x^2}=\lim_{x \to 0}\frac{2x}{x^2+1}=\frac{0}{1}=0$ och då $y=x^2$, $\lim_{x \to 0} \frac{2x^2x^2}{x^4+x^4}=\frac{2x^4}{2x^4}=1$

Om jag inte minns fel säger man att gränsvärdet existerar när x och y kan närma sig punkten (i det här fallet origo) hur som helst. Vad man säger om vissa kombinationer av x och y, t.ex. de som ligger på kurvan y=x^2, minns jag inte.

Då verkar det rätt i alla fall. Blev lite orolig. Ja, din slutsats är korrekt. För att g-v ska existera måste resultatet vara oberoende av vägen och motexemplet jag gav visar då att så ej är fallet.

Din fråga 2: Nej, samma exempel duger inte i alla situationer. 

Fråga 3: En strategi om man misstänker divergens är att hitta två olika vägar som t ex ger resultaten 0 och 1.  Det brukar inte vara jättesvårt.

Det brukar vara en bra idé att använda polära koordinater med centrum i punkten man ska närma sig.

Dr G:s idé kan ha fördelen att också kunna användas för att bevisa ev konvergens. Om dimensionen >2 blir det nog jobbigt dock.

Den här uppgiften var tydligen långt över mina kunskaper och kommer senare i flervariabelanalys och polära koordinater.
Jag hittade ett exempel på YouTube som var hyfsat nära, men vår nämnare är lite mer komplicerad. Kanske det kan vara ett tips? LÄNK

Med de kunskaper jag har kunde jag undersöka med hjälp av grafräknaren vad som hände vid fasta värden på y inom intervallet 0,001<y<100 i steg om 10*y. Vilket gav en vink om att y har ett max-värde på ett och att det max-värdet flyttades närmare y-axeln vid små värden för y och kom så långt ifrån som -10 och +10 från y-axeln vid y=100.
Något hinder för att närma sig (0, 0) såg jag inte, men det verkar som att y-max fortsätter att vara 1, så vi verkar att ha en diskontinuitet i punkten (0, 0)?

Edit: Vilket stöds av att division med noll ej är tillåtet. 

Dr. G skrev:

Det brukar vara en bra idé att använda polära koordinater med centrum i punkten man ska närma sig.

Här tycker jag att Tomast eller TS idé att använda $y=x^2$  av något slag är bättre (just i detta fallet alltså).

Detta eftersom att gränsvärdet konvergerar mot 0 om vi använder polära koordinater, och om TS låter var och en -> 0 så kan man tro att gränsvärdet existerar (= 0) när den i själva verket inte gör det.

Nja, gränsvärdet går mot 0 i polära koordinater om man antar att vinkeln är konstant. Ganska vanlig luring på den här typen av uppgifter, att det går mot 0 längs alla linjer men inte alla andra kurvor.

Vill man visa att gränsvärdet finns behöver man polära koordinater. Annars får man hitta ett motexempel. Min strategi för det brukar vara att testa en av axlarna först, tex x=0, för att få något att motbevisa. Om vi nu ska hitta en kurva med ett annat tal som gränsvärde så satsa på att få samma grad uppe och nere. Mot 0 är lägst grad dominerande, så jag hade valt att behålla y här och göra x till funktion. Ser att vi har grad 2 i nämnaren, så vill ha x2*y till grad 2 också. Då måste x=rot(y).

Sen kan man råka se lösningar som y=x2 i det här fallet men jag tycker om att ha en metod att pilla fram det med.

Nja, gränsvärdet går mot 0 i polära koordinater om man antar att vinkeln är konstant. Ganska vanlig luring på den här typen av uppgifter, att det går mot 0 längs alla linjer men inte alla andra kurvor.

Stämmer. Självklart kan vinkeln vara en funktion av $r$ men om inte jag minns fel så tror jag inte man går igenom något mer involverat med polära koordinater än att låta vinklen vara konstant och söka gränsvädet (flervariablen dvs vilket jag antar TS läser). Jag hade alltid försökt (om det går) utöver att använda polära kooridanter att hitta ett motexempel. 

Jag litade på polära koordinater en gång i tiden tills jag själv blev lurad av resultatet. ;)

Cien skrev:

Då $y=x$, $\lim_{x \to 0} \frac{2x^2x}{x^4+x^2}=\lim_{x \to 0}\frac{2x}{x^2+1}=\frac{0}{1}=0$ och då $y=x^2$, $\lim_{x \to 0} \frac{2x^2x^2}{x^4+x^4}=\frac{2x^4}{2x^4}=1$

Det verkar ju att stämma bra med vad jag ser på mina grafer? Är det ett samband?

Jag provade med polära koordinater och kom fram till 1 där också när $x=\sqrt{y}$om jag nu gjorde rätt?
Början såg ut så här $\frac{2xy}{x^2+y^2}$men kanske är helt uppåt väggarna?

Om det stämmer så ser det ut att finnas ett samband mellan de tre lösningarna.

Micimacko skrev:

Nja, gränsvärdet går mot 0 i polära koordinater om man antar att vinkeln är konstant.

Med polära koordinater går väl gränsvärdet mot 0 även om vinkeln inte är konstant då $sin^{n}\theta$ och $cos^{n}\theta$ är begränsade, där $n \in R, 0\leq \theta \leq 2\pi$?

Med polära får jag
$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{2x^{2}y}{x^{4}+y^{2}} = \lim_{r \to 0} \frac{2rcos^{2}\theta sin\theta}{r^{2}cos^{4}\theta + sin^{2}\theta} = 0$
Just pga att de är begränsade betyder väl att vinkeln i detta fall borde inte spela någon roll såvida jag inte tänkt fel?

I vilket fall fattar jag såklart att för det originella uttrycket i x,y-koordinater visar sig ha 2 olika gränsvärden, vilket har visats längre upp, så därför saknar uttrycket gränsvärde.

Ska gränsvärdet finnas så ska det gå mot 0 längs med alla kurvor, även den vi hittade som motexempel. Vad händer om du stoppar in den här vägen som r i din uträkning?

Om det finns eller inte är helt oberoende av om man beskriver det polärt eller inte, det är ju fortfarande precis samma uttryck. Problemet ni skapar beror inte alls på att koordinater kan vara opålitliga, utan att ni för snabbt gissar vad gränsvärdet blir utan att faktiskt bevisa det.

Micimacko skrev:

Ska gränsvärdet finnas så ska det gå mot 0 längs med alla kurvor, även den vi hittade som motexempel. Vad händer om du stoppar in den här vägen som r i din uträkning?

Om det finns eller inte är helt oberoende av om man beskriver det polärt eller inte, det är ju fortfarande precis samma uttryck. Problemet ni skapar beror inte alls på att koordinater kan vara opålitliga, utan att ni för snabbt gissar vad gränsvärdet blir utan att faktiskt bevisa det.

Jovisst, jag fattar att att kravet för att ett gränsvärde ska finnas för ett uttryck/funktion är att den ska ha samma gränsvärde oavsett vägen man tar då dess variabler närmar sig något. Och att eftersom man i detta fall kan visa att det för 2 olika "vägar" då (x,y)->(0,0) ger 2 olika gränsvärden, så saknar uttrycket därför gränsvärde.

Det jag undrade över var specifikt ditt påstående: "Nja, gränsvärdet går mot 0 i polära koordinater om man antar att vinkeln är konstant."

Jag ville bara få klarhet om det är sant att vinkeln i mitt specifika fall inte spelade någon roll, dvs den behövde inte vara konstant? I mitt fall kunde jag visa att vinkeln inte behövde vara konstant för att evaluera det till 0, då cos och sin är begränsade, om jag inte tänkt fel. Jag menade inte med detta att säga att gränsvärdet då för uttrycket är 0 oavsett vilken väg man närmar sig 0 i polära, för det är det inte såsom du visade i ditt exempel.

Om jag tolkar dig rätt:

Att uttrycket har samma gränsvärden när man märmar sig origo via vilken rät linje som helst, betyder inte nödvändigtvis att uttrycket har samma gränsvärde när man närmar sig origo på alla tänkbara sätt. Det räcker alltså inte att bara undersöka de räta linjerna.

Vinkeln spelar roll i ditt fall, som du ser om du byter ut r till det jag föreslog. Att sin och cos är begränsade hjälper inte om de finns i nämnaren, problemen här dyker upp när nämnaren går mot 0.

Självklart kan det inte gå mot 0 oavsett om det inte existerar, så jag hänger inte med riktigt på vad du menar där. Eller har du 2 olika exempel?

Micimacko skrev:

Vinkeln spelar roll i ditt fall, som du ser om du byter ut r till det jag föreslog. Att sin och cos är begränsade hjälper inte om de finns i nämnaren, problemen här dyker upp när nämnaren går mot 0.

Självklart kan det inte gå mot 0 oavsett om det inte existerar, så jag hänger inte med riktigt på vad du menar där. Eller har du 2 olika exempel?

Jag antar att det är något jag fundamentalt missförstår bara, ber om ursäkt.
Såhär var det jag fick det till 0 och varför jag tänkte som jag tänkte med att vinkeln inte behövde vara konstant i mitt fall:

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{2x^{2}y}{x^{4}+y^{2}} = \lim_{r \to 0} \frac{2rcos^{2}\theta sin\theta}{r^{2}cos^{4}\theta + sin^{2}\theta} = \frac{0*(2cos^{2}\theta sin\theta)}{0^{2}cos^{4}\theta + sin^{2}\theta} = \frac{0}{sin^{2}\theta} = 0$

Så därför såg det ut som om det inte spelade roll i mitt fall, pga att jag valde r=0.

Edit: Nu tror jag att jag ser, om jag väljer vinkeln till $\theta=0$ så blir det 0/0, vilket är oändlighet, så det spelar roll i mitt fall. Okej men det var det jag undrade över, tack!

Tillägg: 30 jun 2022 07:58

Följdfråga: Skulle man kunna använda argumentet att eftersom vinkeln spelar roll hära, då $\theta=0$ eller $\theta \neq 0$ fås 2 olika gränsvärden, därför existerar inte något gränsvärde för uttrycket?

Svaret på din följdfråga är ja.

Tillägg: 30 jun 2022 13:57

Jag tolkade din fråga som att du frågade om det räcker att du får olika gränsvärden för två olika vinklar/vägar.

Tillägg: 30 jun 2022 15:02

Kort sagt, jag tänkte fel.

Jag säger nej. Vad får du om du stoppar in vinkeln 0 först och räknar ut igen? (vinkel konstant 0 är fortfarande en rät linje)

0/0 är odefinerat, du kan inte anta att det är oändligt, eller något annat, du behöver ta reda på mer.

Micimacko skrev:

Jag säger nej. Vad får du om du stoppar in vinkeln 0 först och räknar ut igen? (vinkel konstant 0 är fortfarande en rät linje)

0/0 är odefinerat, du kan inte anta att det är oändligt, eller något annat, du behöver ta reda på mer.

Ja du har rätt, jag glömde bort att 0/0 är obestämd form, så mitt argument faller då.

Det riktigt luriga här är ju att det inte räcker med att testa vinkel 0 och inte 0, för så långt är inga problem. Men när v och r kan bero på varandra kan vinkeln gå mot 0 utan att vara precis 0 i täljaren, och man får gräva i hur fort olika saker nollas.

Men de situationerna är inte riktigt menade att redas ut så på den här nivån, utan det räcker oftast att konstatera att det blev lite klurigare, och då dra slutsatsen att man istället förväntas leta efter ett motexempel istället.