Gränsvärden

$$\begin{gathered} \frac{2+x}{x}=y \Rightarrow x=\frac{2}{y-1} \\ x\to \infty \Rightarrow y\to 1 \\ lim\frac{2\ln \left(y\right)}{y-1} y\to 1 \\ Sen gör du ett byte y-1 = z så får du ett s\tan dardgränsvärde \end{gathered}$$

Ett sätt att slippa variabelsubstitution är att använda L'Hospitals regel. Vi skriver om faktorn x så att den kan stå i nämnaren: 

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\ln \left({\displaystyle \frac{2+x}{x}}\right)}{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}}$

Derivering av täljare respektive nämnare ger då

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\left({\displaystyle \frac{1}{\left({\displaystyle \frac{2+x}{x}}\right)}}\right)·\left({\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{x+2}{x^2}}\right)}{-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x}{x+2}$

:)

Smutstvätt skrev:

Ett sätt att slippa variabelsubstitution är att använda L'Hospitals regel. Vi skriver om faktorn x så att den kan stå i nämnaren: 

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\ln \left({\displaystyle \frac{2+x}{x}}\right)}{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}}$

Derivering av täljare respektive nämnare ger då

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\left({\displaystyle \frac{1}{\left({\displaystyle \frac{2+x}{x}}\right)}}\right)·\left({\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{x+2}{x^2}}\right)}{-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x}{x+2}$

:)

Tack för svar. Jag håller med dig om att det hade varit mycket lättare att använda L´Hospitals regel. Men universitetet vill inte att vi ska använda den tyvärr :(. Så variabel substitution får det bli!  :) 

Vad segt! L'Hospital fungerar ju på allt!

Smutstvätt skrev:

Vad segt! L'Hospital fungerar ju på allt!

Ish, det finns vissa gränsvärden där man gräver ner sig i ett större och större hål. Det finns också gränsvärden där man tillslut kommer tillbaka till samma uttryck och kan inte beräkna gränsvärdet oavsett hur många man utför l'hospital.

Jag kan nog fiska upp något exempel om det finns intresse men jag håller med dig att den funkar ofta. ;)

Det behövs inte, jag är väl medveten om att LH har många svagheter, men det var verkligen en upptäckt när en först lärde sig den! 

Ja, det håller jag helt med om. Vet inte hur många gånger jag fick höra någon fråga vår examinator "får man använda l'hospital??" när vi jobbade med standardgränsvärden.. hehe ;)

För min del är det inget som slår maclaurin/Taylor, måste vara bland det härligaste jag lärt mig!